Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3628
2019-06-13 
Медианы разбивают треугольник $ABC$ на шесть треугольников. Оказалось, что четыре из окружностей, вписанных в эти треугольники, равны. Докажите, что треугольник $ABC$ правильный.
Решение:
Площади всех шести треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами, равны.
В силу равенства радиусов вписанных окружностей и формулы $S = pr$ следует равенство периметров четырех из таких треугольников.
.
Так как два из них примыкают к одной стороне, скажем к $AB$ (рис.), то $AM = MB$, поэтому $MK$ - медиана и высота $\triangle AMB$ и $AC = BC$.
Если равны радиусы кругов, вписанных в треугольники $ALM$ и $AKM$, то эти треугольники равны (как треугольники с равными площадями, основаниями и периметрами), причем $AL = AK$, т. е. $AC = AB$ и треугольник $ABC$ правильный.
Если равны периметры треугольников $CLM$ и $KMB$, то, пользуясь равенством длин отрезков касательной, проведенных из одной точки, получим: $CL + LM + CM = 2 \cdot CL + 2x = 2 \cdot BK + 2x$ ($x$ - расстояние от точки $M$ до точки касания с соответствующей окружностью). Отсюда следует, что $AC = AB$.
Медианы разбивают треугольник $ABC$ на шесть треугольников. Оказалось, что четыре из окружностей, вписанных в эти треугольники, равны. Докажите, что треугольник $ABC$ правильный.
Решение:
Площади всех шести треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами, равны.
В силу равенства радиусов вписанных окружностей и формулы $S = pr$ следует равенство периметров четырех из таких треугольников.
.
Так как два из них примыкают к одной стороне, скажем к $AB$ (рис.), то $AM = MB$, поэтому $MK$ - медиана и высота $\triangle AMB$ и $AC = BC$.
Если равны радиусы кругов, вписанных в треугольники $ALM$ и $AKM$, то эти треугольники равны (как треугольники с равными площадями, основаниями и периметрами), причем $AL = AK$, т. е. $AC = AB$ и треугольник $ABC$ правильный.
Если равны периметры треугольников $CLM$ и $KMB$, то, пользуясь равенством длин отрезков касательной, проведенных из одной точки, получим: $CL + LM + CM = 2 \cdot CL + 2x = 2 \cdot BK + 2x$ ($x$ - расстояние от точки $M$ до точки касания с соответствующей окружностью). Отсюда следует, что $AC = AB$.
