Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3625
2019-06-13 
В треугольнике $ABC$ взяли точку $D$ на стороне $AB$ и точку $E$ на $AC$. При этом оказалось, что $DE \parallel BC, AD = DE = AC, BD = AE$.
Докажите, что длина $BD$ равна длине стороны правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса $R = AC$.
Решение:
.
Параллельным переносом, переводящим точку $D$ в точку $В$, переведем треугольник $ADE$ в треугольник $KBL$, где $KL \parallel AC$ и, кроме того, $KB = LB$ (рис.).
Если $\angle KAL = \alpha$, то $\angle KLA = \alpha; \angle BKL = 2 \alpha$; $\angle BAC = \angle BCA = 2 \alpha$; далее, $\triangle ACL = \triangle BKL$ по двум сторонам и углу между ними; $\angle ALC = \angle KLB = 2 \alpha$; $\alpha = \pi /5$ и $LC = AK = BD$, т. е. длина отрезка $BD$ равна длине стороны правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса $R = AC$.
В треугольнике $ABC$ взяли точку $D$ на стороне $AB$ и точку $E$ на $AC$. При этом оказалось, что $DE \parallel BC, AD = DE = AC, BD = AE$.
Докажите, что длина $BD$ равна длине стороны правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса $R = AC$.
Решение:
.
Параллельным переносом, переводящим точку $D$ в точку $В$, переведем треугольник $ADE$ в треугольник $KBL$, где $KL \parallel AC$ и, кроме того, $KB = LB$ (рис.).
Если $\angle KAL = \alpha$, то $\angle KLA = \alpha; \angle BKL = 2 \alpha$; $\angle BAC = \angle BCA = 2 \alpha$; далее, $\triangle ACL = \triangle BKL$ по двум сторонам и углу между ними; $\angle ALC = \angle KLB = 2 \alpha$; $\alpha = \pi /5$ и $LC = AK = BD$, т. е. длина отрезка $BD$ равна длине стороны правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса $R = AC$.
