Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3624
2019-06-13 
Докажите, что любое натуральное число, не превосходящее $n!$, можно представить как сумму не более $n$ слагаемых, среди которых нет двух одинаковых, и каждое является делителем числа $n!$.
Решение:
Докажем утверждение задачи индукцией по $n$. Для $n = 1$ утверждение, очевидно, справедливо. Предположим, что оно справедливо при $k = n$.
Пусть $a < (n + 1)!$. Разделим $a$ на $n + 1$ с остатком: $a = d(n + 1) + r$, где $d \leq n!, r < n + 1$.
По предположению индукции $d = d_1 + d_2 + \cdots + d_i$, где все $d_i$ - различные делители числа $n!$ и $l \leq n$. Тогда $a = d_1 (n + l) + \cdots + d_i (n + 1) + r$ в этой сумме не больше чем $n + 1$ слагаемое, каждое из них - делитель числа $(n + 1)!$ и все они различны.
Докажите, что любое натуральное число, не превосходящее $n!$, можно представить как сумму не более $n$ слагаемых, среди которых нет двух одинаковых, и каждое является делителем числа $n!$.
Решение:
Докажем утверждение задачи индукцией по $n$. Для $n = 1$ утверждение, очевидно, справедливо. Предположим, что оно справедливо при $k = n$.
Пусть $a < (n + 1)!$. Разделим $a$ на $n + 1$ с остатком: $a = d(n + 1) + r$, где $d \leq n!, r < n + 1$.
По предположению индукции $d = d_1 + d_2 + \cdots + d_i$, где все $d_i$ - различные делители числа $n!$ и $l \leq n$. Тогда $a = d_1 (n + l) + \cdots + d_i (n + 1) + r$ в этой сумме не больше чем $n + 1$ слагаемое, каждое из них - делитель числа $(n + 1)!$ и все они различны.
