Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3622
2019-06-13 
Последовательность $a_1, a_2, a_3, \cdots$ образована по следующему правилу:
$a_1 = 1, a_2 = a_1 + \frac{1}{a_1}, \cdots, a_n = a_{n-1} + \frac{1}{a_{n-1}}$.
Докажите, что $a_{100} > 14$.
Решение:
Докажем сразу двустороннюю оценку $14 < a_{100} < 18$. При $k > 1$ имеем $a_k^2 = a_{k-1}^2 + 2 + \frac{1}{a_{k-1}^2}$, причем $a_k > 1$. Поэтому $a_{k-1}^2 + 2 < a_k^2 < a_{k-1}^2 + 3$.
Сложив эти неравенства для всех $1 \leq k \leq n$, получим (с учетом того, $a_1 = 1$)
$2n - 1 < a_n^2 < 3n - 2$,
откуда $\sqrt {2n -1} < a_n < \sqrt {3n -2}$. При $n = 100$ получим требуемые неравенства $14 < a_{100} < 18$.
Интересно доказать, что последовательность $\frac{a_n}{ \sqrt{n}}$ стремится к пределу, и найти его.
Последовательность $a_1, a_2, a_3, \cdots$ образована по следующему правилу:
$a_1 = 1, a_2 = a_1 + \frac{1}{a_1}, \cdots, a_n = a_{n-1} + \frac{1}{a_{n-1}}$.
Докажите, что $a_{100} > 14$.
Решение:
Докажем сразу двустороннюю оценку $14 < a_{100} < 18$. При $k > 1$ имеем $a_k^2 = a_{k-1}^2 + 2 + \frac{1}{a_{k-1}^2}$, причем $a_k > 1$. Поэтому $a_{k-1}^2 + 2 < a_k^2 < a_{k-1}^2 + 3$.
Сложив эти неравенства для всех $1 \leq k \leq n$, получим (с учетом того, $a_1 = 1$)
$2n - 1 < a_n^2 < 3n - 2$,
откуда $\sqrt {2n -1} < a_n < \sqrt {3n -2}$. При $n = 100$ получим требуемые неравенства $14 < a_{100} < 18$.
Интересно доказать, что последовательность $\frac{a_n}{ \sqrt{n}}$ стремится к пределу, и найти его.
