Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3621
2019-06-13 
В правильном $n$-угольнике ($n > 5$) разность между наибольшей и наименьшей диагоналями равна стороне. Найдите $n$.
Решение:
.
Пусть $a_n$ - длина стороны, a $D_n$ и $d_n$ - длины наибольшей и наименьшей диагоналей правильного $n$-угольника. Для $n = 4$ и $n = 5$ все диагонали равны. Для $n = 6$ и $n = 7$ $D_n - a_n < a_n$. При $n = 8$ (рис. а) опустим перпендикуляры $BK$ и $DL$ из концов наименьшей диагонали $BD$ на наибольшую диагональ $AE$.
Легко видеть, что $\angle ABK = 22,5^{\circ} < 30^{\circ}$. Поэтому $AB = a_9 > 2AK = D_8 - d_8$. Для $n = 9$ (рис. б) аналогично получим $\angle ABK = 30^{\circ}$, поэтому $AB = а_9 = 2AK = D_9 - d_9$.
Будем далее считать $n$-угольник вписанным в круг радиуса 1. При $n > 9$, очевидно, $D_n \geq D_9, d_n < d_9, a_n < a_9$. Поэтому $D_n - d_n > D_9 - d_9 = a_9 > a_n$.
Ответ: $n = 9$.
В правильном $n$-угольнике ($n > 5$) разность между наибольшей и наименьшей диагоналями равна стороне. Найдите $n$.
Решение:
.
Пусть $a_n$ - длина стороны, a $D_n$ и $d_n$ - длины наибольшей и наименьшей диагоналей правильного $n$-угольника. Для $n = 4$ и $n = 5$ все диагонали равны. Для $n = 6$ и $n = 7$ $D_n - a_n < a_n$. При $n = 8$ (рис. а) опустим перпендикуляры $BK$ и $DL$ из концов наименьшей диагонали $BD$ на наибольшую диагональ $AE$.
Легко видеть, что $\angle ABK = 22,5^{\circ} < 30^{\circ}$. Поэтому $AB = a_9 > 2AK = D_8 - d_8$. Для $n = 9$ (рис. б) аналогично получим $\angle ABK = 30^{\circ}$, поэтому $AB = а_9 = 2AK = D_9 - d_9$.
Будем далее считать $n$-угольник вписанным в круг радиуса 1. При $n > 9$, очевидно, $D_n \geq D_9, d_n < d_9, a_n < a_9$. Поэтому $D_n - d_n > D_9 - d_9 = a_9 > a_n$.
Ответ: $n = 9$.
