Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3618
2019-06-13 
В восьмиугольнике все углы равны, а длины сторон - целые числа. Докажите, что противоположные стороны восьмиугольника равны между собой.
Решение:
.
Пусть $a_1, a_2 \cdots, a_8$ - длины сторон восьмиугольника (рис.). Из равенства всех его углов сразу вытекает, что его противоположные стороны параллельны. Продолжив две пары противоположных сторон $a_1$ и $a_3$ и $а_7$, получим прямоугольник, из которого наш восьмиугольник можно изготовить «отрезанием уголков».
Из равенства противоположных сторон этого прямоугольника получим:
$\frac{a_8}{ \sqrt{2}} + a_1 + \frac{a_2}{ \sqrt{2}} = \frac{a_6}{ \sqrt{2}} + a_5 + \frac{a_4}{ \sqrt{2}}$, или $a_5 - a_1 = \frac{ \sqrt{2}}{2} (a_8 + a_2 - a_6 - a_4)$.
Так как $a_i$ - целые числа, а $\frac{ \sqrt{2}}{2}$ - иррационально, то $a_5 = a_1$. Точно так же доказывается равенство длин остальных пар противоположных сторон.
В восьмиугольнике все углы равны, а длины сторон - целые числа. Докажите, что противоположные стороны восьмиугольника равны между собой.
Решение:
.
Пусть $a_1, a_2 \cdots, a_8$ - длины сторон восьмиугольника (рис.). Из равенства всех его углов сразу вытекает, что его противоположные стороны параллельны. Продолжив две пары противоположных сторон $a_1$ и $a_3$ и $а_7$, получим прямоугольник, из которого наш восьмиугольник можно изготовить «отрезанием уголков».
Из равенства противоположных сторон этого прямоугольника получим:
$\frac{a_8}{ \sqrt{2}} + a_1 + \frac{a_2}{ \sqrt{2}} = \frac{a_6}{ \sqrt{2}} + a_5 + \frac{a_4}{ \sqrt{2}}$, или $a_5 - a_1 = \frac{ \sqrt{2}}{2} (a_8 + a_2 - a_6 - a_4)$.
Так как $a_i$ - целые числа, а $\frac{ \sqrt{2}}{2}$ - иррационально, то $a_5 = a_1$. Точно так же доказывается равенство длин остальных пар противоположных сторон.
