Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3617
2019-06-13 
Натуральное число $k$ обладает таким свойством: если $n$ делится на $k$, то и число, записываемое теми же цифрами, что и $n$, в обратном порядке, делится на $k$. Докажите, что $k$ - делитель числа 99.
Решение:
Заметим сначала, что число $k$ взаимно просто с 10. В самом деле, существует число, делящееся на $k$ и начинающееся с 1. Обращенное число также делится на $k$ и оканчивается на 1.
Возьмем теперь число, начинающееся с цифр 500 и делящееся на $k$: $500 abc \cdots z (а, b, с, \cdots, z$ - цифры этого числа). Тогда на $k$ делятся числа:
1) $z \cdots cba 005$.
2) Сумма
.
3) Обращенное последнее число $z \cdots ba 00010 ab \cdots z$.
4) Разность
.
Отсюда видно, что 99 делится на $k$.
Натуральное число $k$ обладает таким свойством: если $n$ делится на $k$, то и число, записываемое теми же цифрами, что и $n$, в обратном порядке, делится на $k$. Докажите, что $k$ - делитель числа 99.
Решение:
Заметим сначала, что число $k$ взаимно просто с 10. В самом деле, существует число, делящееся на $k$ и начинающееся с 1. Обращенное число также делится на $k$ и оканчивается на 1.
Возьмем теперь число, начинающееся с цифр 500 и делящееся на $k$: $500 abc \cdots z (а, b, с, \cdots, z$ - цифры этого числа). Тогда на $k$ делятся числа:
1) $z \cdots cba 005$.
2) Сумма
.
3) Обращенное последнее число $z \cdots ba 00010 ab \cdots z$.
4) Разность
.
Отсюда видно, что 99 делится на $k$.
