Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3616
2019-06-13 
Три последовательные вершины ромба лежат соответственно на сторонах $AB, BC, CD$ данного квадрата со стороной 1. Найдите площадь фигуры, которую заполняют четвертые вершины таких ромбов.
Решение:
Пусть $K, L, N$ - вершины ромба на сторонах $AB, BC$ и $AD$ квадрата (рис. а). Заметим, что длина $KB$ равна расстоянию от точки $M$ до прямой $AD$. Поэтому, если зафиксировать точку $k$, то возможные положения точки $M$ заполняют некоторый отрезок $M_1M_2$ параллельный стороне $AD$.
При этом нижнему положению $M_1$ точки $M$ соответствует случай $N_1 = A$, а верхнему $M_2$ - случай $L_2 = С$.
Чтобы определить положение точек $M_1$ и $M_2$ в зависимости от расположения точки $k$, введем систему координат, как это сделано на рис. б.
Несложные вычисления показывают, что если абсцисса точки $k$ равна $x > 0$, то $M_1 = (- x, \sqrt{2x})$, а $M_2 = (- x, \sqrt {1 - 2x} + 1)$. Пользуясь симметрией множества точек $M$ относительно оси $О_y$, получаем, что это множество представляет собой фигуру, помеченную штриховкой. Брать интегралы для вычисления площади не нужно: на рис. в фигурки, обозначенные цифрами 1 и 2 равны.
Ответ: $S = 1$.
Три последовательные вершины ромба лежат соответственно на сторонах $AB, BC, CD$ данного квадрата со стороной 1. Найдите площадь фигуры, которую заполняют четвертые вершины таких ромбов.
Решение:
Пусть $K, L, N$ - вершины ромба на сторонах $AB, BC$ и $AD$ квадрата (рис. а). Заметим, что длина $KB$ равна расстоянию от точки $M$ до прямой $AD$. Поэтому, если зафиксировать точку $k$, то возможные положения точки $M$ заполняют некоторый отрезок $M_1M_2$ параллельный стороне $AD$.
При этом нижнему положению $M_1$ точки $M$ соответствует случай $N_1 = A$, а верхнему $M_2$ - случай $L_2 = С$.
Чтобы определить положение точек $M_1$ и $M_2$ в зависимости от расположения точки $k$, введем систему координат, как это сделано на рис. б.
Несложные вычисления показывают, что если абсцисса точки $k$ равна $x > 0$, то $M_1 = (- x, \sqrt{2x})$, а $M_2 = (- x, \sqrt {1 - 2x} + 1)$. Пользуясь симметрией множества точек $M$ относительно оси $О_y$, получаем, что это множество представляет собой фигуру, помеченную штриховкой. Брать интегралы для вычисления площади не нужно: на рис. в фигурки, обозначенные цифрами 1 и 2 равны.
Ответ: $S = 1$.
