Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3613
2019-06-13 
Найдите все пары целых чисел $x$ и $y$, удовлетворяющих уравнению
$x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y$.
Решение:
Умножив обе части уравнения на 4 и прибавив к ним по 1, получим
$(2x + 1)^2 = (2y^2 + y)^2 + 3y^2 + 4y + 1 = (2y^2 + y + 1)^2 - (y^2 - 2y)$.
Если $у$ - целое и отлично от -1, 0, 1 и 2, то $3y^2 + 4y + 1 > 0$ и $у^2 - 2y > 0$ при этом
$(2y^2 + y)^2 < (2x + 1)^2 < (2y^2 + y + 1)^2$.
Эти неравенства означают, что $(2x + 1)^2$ лежит между двумя последовательными квадратами, а это при целых $x$ невозможно. Подставив в уравнение $y = -1, y = 0, y = 1$ и $y = 2$, найдем ответ.
Ответ: $(0; -1), (-1; -1), (0; 0), (-1; 0), (5; 2), (-6; 2)$.
Найдите все пары целых чисел $x$ и $y$, удовлетворяющих уравнению
$x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y$.
Решение:
Умножив обе части уравнения на 4 и прибавив к ним по 1, получим
$(2x + 1)^2 = (2y^2 + y)^2 + 3y^2 + 4y + 1 = (2y^2 + y + 1)^2 - (y^2 - 2y)$.
Если $у$ - целое и отлично от -1, 0, 1 и 2, то $3y^2 + 4y + 1 > 0$ и $у^2 - 2y > 0$ при этом
$(2y^2 + y)^2 < (2x + 1)^2 < (2y^2 + y + 1)^2$.
Эти неравенства означают, что $(2x + 1)^2$ лежит между двумя последовательными квадратами, а это при целых $x$ невозможно. Подставив в уравнение $y = -1, y = 0, y = 1$ и $y = 2$, найдем ответ.
Ответ: $(0; -1), (-1; -1), (0; 0), (-1; 0), (5; 2), (-6; 2)$.
