Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3610
2019-06-13 
а) Прожектор освещает угол $90^{\circ}$. Докажите, что расположенные в четырех произвольных точках плоскости прожектора можно направить так, чтобы осветить всю плоскость.
б) В каждой из восьми точек пространства стоит прожектор, который освещает октант (трехгранный угол со взаимно перпендикулярными ребрами) с вершиной в этой точке. Докажите, что можно направить прожектора так, чтобы они осветили все пространство.
Решение:
а) Проведем прямую $l$ так, чтобы в каждой из полуплоскостей, на которые делится плоскость этой прямой, рис. было по две из данных точек. Ясно (рис.), что два прожектора, помещенных в точки одной из этих полуплоскостей, могут осветить другую полуплоскость.
б) Проведем плоскость так, чтобы четыре из данных точек лежали по одну сторону от нее, а остальные - четыре - по другую. Пользуясь задачей а), нетрудно доказать, что прожекторы, помещенные в четыре точки одного из полупространств, могут осветить другое полупространство.
Существует далеко идущее обобщение этой задачи. Оказывается, любые $n$ данных углов $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = 360^{\circ}$, можно поместить в данных $n$ вершинах так, что они покроют всю плоскость.
а) Прожектор освещает угол $90^{\circ}$. Докажите, что расположенные в четырех произвольных точках плоскости прожектора можно направить так, чтобы осветить всю плоскость.
б) В каждой из восьми точек пространства стоит прожектор, который освещает октант (трехгранный угол со взаимно перпендикулярными ребрами) с вершиной в этой точке. Докажите, что можно направить прожектора так, чтобы они осветили все пространство.
Решение:
а) Проведем прямую $l$ так, чтобы в каждой из полуплоскостей, на которые делится плоскость этой прямой, рис. было по две из данных точек. Ясно (рис.), что два прожектора, помещенных в точки одной из этих полуплоскостей, могут осветить другую полуплоскость.
б) Проведем плоскость так, чтобы четыре из данных точек лежали по одну сторону от нее, а остальные - четыре - по другую. Пользуясь задачей а), нетрудно доказать, что прожекторы, помещенные в четыре точки одного из полупространств, могут осветить другое полупространство.
Существует далеко идущее обобщение этой задачи. Оказывается, любые $n$ данных углов $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = 360^{\circ}$, можно поместить в данных $n$ вершинах так, что они покроют всю плоскость.
