2014-06-07
Последовательность $a_{1}, a_{1}, \cdots$ удовлетворяет для некоторого параметра $a \in \mathbf{N}$ соотношениям
$a_{0} = 0, a_{1} = 1, a_{n+1} =2 a_{n} + (a - 1)a_{n-1}$
при $n \in \mathbf{N}$. Для фиксированного простого числа $p_{0} > 2$ найти наименьшее значение $a$, при котором верны два утверждения: а) если $p$ - простое число и $p \leq p_{0}$, то число $a_{p}$ делится на $p$; б) если $p$ - простое число и $p > p_{0}$, то число $a_{p}$ не делится на $p$.
Решение:
Заметим, что две последовательности
$a_{n} = (1 + \sqrt{a})^{n}$ и $a_{n} = (1 - \sqrt{a})^{n}$
удовлетворяют условию
$a_{n+1} = 2a_{n} + (a - 1)a_{n-1}, n \in \mathbf{N}$.
Действительно, имеем
$a_{n+1} – 2a_{n} + (1 - a) a_{n-1} = (l \pm \sqrt{a})^{2} a_{n-1} – 2 (1 \pm \sqrt{a})a_{n-1} + (1 - a)a_{n-1} = 0$
при любом значении $n \in \mathbf{N}$. Следовательно, любая последовательность вида
$a_{n} = A(1 + \sqrt{a})^{n} + B(1 - \sqrt{a})^{n}$,
также удовлетворяет этому условию. В частности, при $A = - B = 1/(2 \sqrt{a})$ имеем последовательность
$a_{n} = ((1 + \sqrt{a})^{n} – (1 - \sqrt{a})^{n})/ (2 \sqrt{a})$,
которая удовлетворяет заданным в условии задачи соотношениям, так как $a_{0} = 0, a_{1} = 1$. Пользуясь биномом Ньютона, для любого простого числа $p$, отличного от 2 (а значит, нечетного), получаем соотношения
$a_{p} = \frac{1}{2 \sqrt{a}} ((1 + \sqrt{a})^{p} – (1 - \sqrt{a})^{p}) = \frac{1}{2 \sqrt{a}} \left ( \sum_{i=0}^{p} C^{i}_{p} (\sqrt{a})^{i} - \sum^{p}_{i=0} C^{i}_{p} (- \sqrt{a})^{i} \right ) =$
$= \sum^{(p-1)/2}_{i=0} C^{2i+1}_{p}a^{i} \equiv a^{(p-1)/2} (\mod p)$,
так как в последней сумме все слагаемые вида $C_{p}^{2i + 1} a_{i}$ при $i = 0, 1, \cdots, (p - 1)/2 – 1$ делятся на $p$(ибо
$C^{k}_{p} = p!/(k! (p-k)!) = 0 (\mod p)$
при $k = 1, 2, \cdots, p – 1)$, а при $i = (p - 1)/2$ соответствующее слагаемое равно $C^{p}_{p}a^{i} = a^{(p-1)/2}$. При $p = 2$ имеем
$a_{p} = ((1 + \sqrt{a})^{2} - (1 - \sqrt{a}^{2})/(2 \sqrt{a}) = 2 \equiv 0 (\mod p)$.
Таким образом, для выполнения указанных в задаче утверждений а) и б) необходимо и достаточно, чтобы число $a$ делилось на каждое простое число $p$, удовлетворяющее неравенствам $2 < p \leq p_{0}$, и не делилось ни на одноиз простых чисел $p > p_{0}$. Наименьшее значение $a \in \mathbf{N}$, обладающее этим свойством, равно произведению всех простых чисел $p$, удовлетворяющих неравенствам $3 \leq p \leq p_{0}$.