Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3609
2019-06-13 
а) В некотором натуральном числе произвольно переставили цифры. Докажите, что сумма полученного числа с исходным не равна $\underbrace{999 \cdots 9}_{1967 \:цифр}$.
б) Цифры некоторого числа переставили и сложили полученное число с исходным. Докажите, что если сумма равна $10^{10}$, то исходное число делилось на 10.
Решение:
а) Если сумма двух чисел $а$ и $b$ состоит из одних девяток, то при сложении этих чисел не может быть переносов единицы в следующий разряд. Поэтому $S(a + b) = S(a)+ S(b)$, где $S(x)$ - сумма цифр числа $х$. При этом если $S(a) = S(b)$, то $S(a + b)$ четно и не может равняться $9 \cdot 1967$.
б) Если последняя цифра числа $а$ не равна нулю, то сумма ее с последней цифрой числа $b$ равна 10, а суммы цифр в каждом
из остальных девяти разрядов равны 9. Отсюда следует, что $2S(a) = 9 \cdot 9 + 10 = 91$, что невозможно.
а) В некотором натуральном числе произвольно переставили цифры. Докажите, что сумма полученного числа с исходным не равна $\underbrace{999 \cdots 9}_{1967 \:цифр}$.
б) Цифры некоторого числа переставили и сложили полученное число с исходным. Докажите, что если сумма равна $10^{10}$, то исходное число делилось на 10.
Решение:
а) Если сумма двух чисел $а$ и $b$ состоит из одних девяток, то при сложении этих чисел не может быть переносов единицы в следующий разряд. Поэтому $S(a + b) = S(a)+ S(b)$, где $S(x)$ - сумма цифр числа $х$. При этом если $S(a) = S(b)$, то $S(a + b)$ четно и не может равняться $9 \cdot 1967$.
б) Если последняя цифра числа $а$ не равна нулю, то сумма ее с последней цифрой числа $b$ равна 10, а суммы цифр в каждом
из остальных девяти разрядов равны 9. Отсюда следует, что $2S(a) = 9 \cdot 9 + 10 = 91$, что невозможно.
