Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3606
2019-06-12 
Из двух точек $A$ и $B$, расстояние между которыми равно $d$ км, одновременно в течение одной секунды наблюдают за самолетом, летящим по прямой с постоянной скоростью (рис.). Из точки $A$ сообщили, что самолет сместился за эту секунду на угол $\alpha$, а из точки $B$ - что самолет сместился на угол $\beta$ (углы $\alpha$ и $\beta$ острые). Какую наименьшую скорость мог иметь самолет?
Решение:
Пусть самолет переместился за 1 с из точки $P$ в точку $Q, PQ = r$. Нас интересует наименьшее возможное значение $r$, если $AB = d$ постоянно; вместо этого мы можем искать максимальное значение отношения $d/r$, причем удобно считать постоянным $r$.
Теперь можно переформулировать задачу следующим образом: среди всех точек $A$ и $B$ пространства, из которых данный отрезок $PQ$ виден под углами найти такие, для которых $AB$ имеет наибольшую возможную величину.
Так как $\angle PAQ = \alpha$, то точка $A$ находится на поверхности, получаемой вращением сегмента, вмещающего угол $\alpha$, вокруг его хорды $PQ$. На аналогичной поверхности находится и точка $B$ (на рис. изображено осевое сечение этих поверхностей), Легко доказать, что наибольшее расстояние между $A$ и $B$ достигается, когда эти точки «диаметрально противоположны» (точки $A_0$ и $B_0$ на рисунке). Для такого расположения точек $A$ и $B$ имеем $\frac{2d}{r} = ctg \frac{ \alpha}{2} + ctg \frac{ \beta}{2}$. Отсюда получим ответ.
Ответ: $\frac{2d}{ ctg \frac{ \alpha}{2} + ctg \frac{ \beta}{2}}$ км/с.
Из двух точек $A$ и $B$, расстояние между которыми равно $d$ км, одновременно в течение одной секунды наблюдают за самолетом, летящим по прямой с постоянной скоростью (рис.). Из точки $A$ сообщили, что самолет сместился за эту секунду на угол $\alpha$, а из точки $B$ - что самолет сместился на угол $\beta$ (углы $\alpha$ и $\beta$ острые). Какую наименьшую скорость мог иметь самолет?
Решение:
Пусть самолет переместился за 1 с из точки $P$ в точку $Q, PQ = r$. Нас интересует наименьшее возможное значение $r$, если $AB = d$ постоянно; вместо этого мы можем искать максимальное значение отношения $d/r$, причем удобно считать постоянным $r$.
Теперь можно переформулировать задачу следующим образом: среди всех точек $A$ и $B$ пространства, из которых данный отрезок $PQ$ виден под углами найти такие, для которых $AB$ имеет наибольшую возможную величину.
Так как $\angle PAQ = \alpha$, то точка $A$ находится на поверхности, получаемой вращением сегмента, вмещающего угол $\alpha$, вокруг его хорды $PQ$. На аналогичной поверхности находится и точка $B$ (на рис. изображено осевое сечение этих поверхностей), Легко доказать, что наибольшее расстояние между $A$ и $B$ достигается, когда эти точки «диаметрально противоположны» (точки $A_0$ и $B_0$ на рисунке). Для такого расположения точек $A$ и $B$ имеем $\frac{2d}{r} = ctg \frac{ \alpha}{2} + ctg \frac{ \beta}{2}$. Отсюда получим ответ.
Ответ: $\frac{2d}{ ctg \frac{ \alpha}{2} + ctg \frac{ \beta}{2}}$ км/с.
