Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3604
2019-06-12 
Дан треугольник $ABC$. Рассматриваются всевозможные тетраэдры $PABC$, у которых наименьшей из высот является $PH$ ($H$ - проекция точки $P$ на плоскость $ABC$). Найдите множество точек $H$.
Решение:
Пусть $h$ и $PH$ - высоты тетраэдра, опущенные из точек $A$ и $P$ соответственно, $h_a$, $h_b$ и $h_c$ - высоты треугольника $ABC, PL$ - высота треугольника $PBC$.
Имеем $h^{\ast} S_{PBC} = HP \cdot S_{ABC}$, а так как $h^{\ast} \geq HP$, то $S_{PBC} \leq S_{ABC}$, откуда получаем $PL \leq h_a$, тем самым $HL < PL \leq h_a$.
Итак, расстояние от $H$ до прямой $BC$ меньше $h_a$, так что точка Я лежит внутри полосы, образованной двумя параллельными прямыми, которые удалены от прямой $BC$ на расстояние $h_a$.
Аналогично доказывается, что точка $H$ удалена от $AC$ и $AB$ на расстояния, меньшие $h_b$ и $h_c$ соответственно.
Таким образом, точка $H$ принадлежит пересечению всех трех полос, т. е. лежит внутри треугольника $A_1B_1C_1$, у которого точки $A, В, С$ являются серединами сторон. Наоборот, если $H$ - произвольная точка внутри $\triangle A_1B_1C_1$ и точка $P$ выбрана вблизи $H$ так, что прямая $PH$ перпендикулярна плоскости ABC, то расстояния от точки $P$ до сторон треугольника $ABC$ меньше соответствующих высот, и $PH$ - наименьшая из высот тетраэдра $PABC$.
Дан треугольник $ABC$. Рассматриваются всевозможные тетраэдры $PABC$, у которых наименьшей из высот является $PH$ ($H$ - проекция точки $P$ на плоскость $ABC$). Найдите множество точек $H$.
Решение:
Пусть $h$ и $PH$ - высоты тетраэдра, опущенные из точек $A$ и $P$ соответственно, $h_a$, $h_b$ и $h_c$ - высоты треугольника $ABC, PL$ - высота треугольника $PBC$.
Имеем $h^{\ast} S_{PBC} = HP \cdot S_{ABC}$, а так как $h^{\ast} \geq HP$, то $S_{PBC} \leq S_{ABC}$, откуда получаем $PL \leq h_a$, тем самым $HL < PL \leq h_a$.
Итак, расстояние от $H$ до прямой $BC$ меньше $h_a$, так что точка Я лежит внутри полосы, образованной двумя параллельными прямыми, которые удалены от прямой $BC$ на расстояние $h_a$.
Аналогично доказывается, что точка $H$ удалена от $AC$ и $AB$ на расстояния, меньшие $h_b$ и $h_c$ соответственно.
Таким образом, точка $H$ принадлежит пересечению всех трех полос, т. е. лежит внутри треугольника $A_1B_1C_1$, у которого точки $A, В, С$ являются серединами сторон. Наоборот, если $H$ - произвольная точка внутри $\triangle A_1B_1C_1$ и точка $P$ выбрана вблизи $H$ так, что прямая $PH$ перпендикулярна плоскости ABC, то расстояния от точки $P$ до сторон треугольника $ABC$ меньше соответствующих высот, и $PH$ - наименьшая из высот тетраэдра $PABC$.
