Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3602
2019-06-12 
Докажите, что в выпуклый четырехугольник площади $S$ и периметра $P$ можно поместить круг радиуса $S/P$.
Решение:
Решим эту задачу для произвольного выпуклого $n$-угольника площади $S$ и периметра $P$.
Пусть длины сторон этого многоугольника $a_1, a_2, \cdots, a_n (a_1 + a_2 + \cdots + a_n = P)$. Рассмотрим прямоугольник площади $S$ с основанием $P$, высота его равна, очевидно, $\frac{S}{P}$.
Разрежем теперь этот прямоугольник вертикальными отрезками на $n$-прямоугольников с основаниями $a_1, a_2, \cdots, a_n$ и приложим каждый из получившихся прямоугольников к соответствующей стороне изнутри.
Некоторые прямоугольники будут налезать друг на друга, некоторые могут «вылезать» за пределы данного многоугольника, и поэтому, поскольку их общая площадь равна $S$, а площадь многоугольника - тоже $S$, не покроют его целиком. Любая не покрытая точка может служить центром требуемого круга радиуса $S/P$.
Докажите, что в выпуклый четырехугольник площади $S$ и периметра $P$ можно поместить круг радиуса $S/P$.
Решение:
Решим эту задачу для произвольного выпуклого $n$-угольника площади $S$ и периметра $P$.
Пусть длины сторон этого многоугольника $a_1, a_2, \cdots, a_n (a_1 + a_2 + \cdots + a_n = P)$. Рассмотрим прямоугольник площади $S$ с основанием $P$, высота его равна, очевидно, $\frac{S}{P}$.
Разрежем теперь этот прямоугольник вертикальными отрезками на $n$-прямоугольников с основаниями $a_1, a_2, \cdots, a_n$ и приложим каждый из получившихся прямоугольников к соответствующей стороне изнутри.
Некоторые прямоугольники будут налезать друг на друга, некоторые могут «вылезать» за пределы данного многоугольника, и поэтому, поскольку их общая площадь равна $S$, а площадь многоугольника - тоже $S$, не покроют его целиком. Любая не покрытая точка может служить центром требуемого круга радиуса $S/P$.
