Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3601
2019-06-12 
Числа $a_1, a_2, \cdots, a_n$ таковы, что $0 \leq a_1 \leq a_2 \leq 2a_1, a_2 \leq a_3 \leq 2a_2; \cdots ; a_{n-1} \leq a_n \leq 2a_{n-1}$. Докажите, что в сумме $s = \pm a_1 \pm a_2 \pm \cdots \pm a_n$ можно так выбрать знаки, чтобы было $0 \leq s \leq a_1$.
Решение:
Докажем утверждение задачи по индукции. При $n = 1$ утверждение, очевидно, справедливо.
Предположим, что для $n$ чисел $a, a_3, \cdots, a_{n+1}$ существует сумма $s^{ \prime}$ вида $\pm a_2 \pm a_3 \pm \cdots \pm a_n$, для которой $0 \leq s^{ \prime} \leq а_2$.
Тогда либо $0 \leq s^{ \prime} \leq a_1$, но тогда $0 \leq s = a_1 - s^{ \prime} \leq a_1$, либо $a_1 < s^{ \prime} \leq a_2 \leq 2a_1$, а тогда $s = s^{ \prime} - a_1 \leq a_2 - a_1 \leq a_1$, что и требовалось.
Числа $a_1, a_2, \cdots, a_n$ таковы, что $0 \leq a_1 \leq a_2 \leq 2a_1, a_2 \leq a_3 \leq 2a_2; \cdots ; a_{n-1} \leq a_n \leq 2a_{n-1}$. Докажите, что в сумме $s = \pm a_1 \pm a_2 \pm \cdots \pm a_n$ можно так выбрать знаки, чтобы было $0 \leq s \leq a_1$.
Решение:
Докажем утверждение задачи по индукции. При $n = 1$ утверждение, очевидно, справедливо.
Предположим, что для $n$ чисел $a, a_3, \cdots, a_{n+1}$ существует сумма $s^{ \prime}$ вида $\pm a_2 \pm a_3 \pm \cdots \pm a_n$, для которой $0 \leq s^{ \prime} \leq а_2$.
Тогда либо $0 \leq s^{ \prime} \leq a_1$, но тогда $0 \leq s = a_1 - s^{ \prime} \leq a_1$, либо $a_1 < s^{ \prime} \leq a_2 \leq 2a_1$, а тогда $s = s^{ \prime} - a_1 \leq a_2 - a_1 \leq a_1$, что и требовалось.
