2014-06-07
Доказать, что каждый член последовательности
$\left (\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right )^{n} + \left ( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right )^{n} – 2 (n \in \mathbf{N})$
является натуральным числом и представляется в виде $5m^{2}$ или $m^{2} (m \in \mathbf{N})$ при четном или нечетном $n$ соответственно.
Решение:
Обозначим
$a_{n} = \left (\frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right )^{n} - \left ( \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right )^{n}$,
тогда при $n \in \mathbf{N}$ имеем $a_{n} > 0$ и
$a_{n+2} = \left ( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right )^{n+2} - \left ( \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right )^{n+2} =$
$= \left (\left ( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right )^{n+1} - \left ( \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right )^{n+1} \right ) \left ( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} + \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right )^{n+2} -$
$- \left (\left ( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right )^{n} - \left ( \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right )^{n} \right ) \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \sqrt{5} a_{n+1} – a_{n}$.
Индукцией пo $k \in \mathbf{N}$ докажем, что число $a_{2k-1}$ является целым, а число $a_{2k}$ имеет вид $m \sqrt{5}$ при $m \in \mathbf{Z}$. Действительно, при $k = 1$ имеем $a_{i} = 1, a_{2} = \sqrt{5}$. Далее, пусть утверждение верно для некоторого значения $k \in \mathbf{N}$. Тогда
$a_{2k+1} = \sqrt{5} a_{2k} – a_{2k-1} = 5m – a_{2k-1}$,
$a_{2k+2} = \sqrt{5} a_{2k+1} – a_{2k} = \sqrt{5}(a_{2k+1} – m)$,
т. е. утверждение верно и для значении $k+1$. Следовательно, указанное в условии задачи число
$-2 + \left ( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right )^{n} + \left ( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right )^{n} = \left ( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right )^{2n} + \left ( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right )^{2n} -$
$- 2 \left ( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right )^{n} = \left ( \left ( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right )^{n} - \left ( \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right )^{n} \right )^{2} = a_{n}^{2}$
является квадратом числа $a_{n} \in \mathbf{N}$ при нечетном $n$ и имеет вид $(m \sqrt{5})^{2} = 5m^{2} (m \in \mathbf{N})$ при четном $n$.