Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3597
2019-06-12 
а) Точки $B$ и $C$ лежат внутри отрезка $AD$. Докажите, что если $AB$ равно $CD$, то для любой точки $P$ плоскости выполняется неравенство: $PA + PD \geq PB + PC$.
б) На плоскости отмечены точки $A, B, C$ и $D$. Известно, что для любой точки $P$ выполняется неравенство $PA + PD \geq PB + PC$. Докажите, что точки $B$ и $C$ лежат на отрезке $AD$ и $AB = CD$.
Решение:
а) Если точка $P$ лежит на прямой $AD$, утверждение очевидно.
Пусть $P$ не лежит на $AD$ и $O$ - середина отрезка $AD$. Пусть $P^{ \prime}$ - точка, симметричная точке $P$ относительно $O$. Четырехугольники $BPCP^{ \prime}$ и $P^{ \prime}APD$ - параллелограммы и $AP + PD = AP^{ \prime} + AP > P^{ \prime}B + PB = BP + PC$.
б) В условии $P$ - произвольная точка. Выбирая $P = A$, получим $AD \geq AB + AC$. Теперь положим $P = D$; тогда $AD \geq BD + DC$. Сложив эти неравенства, получаем $2AD \geq AB + AC + BD + CD$.
С другой стороны, всегда $AD < AC + CD$ и $AD < AB + BD$, причем в каждом из неравенств равенство возможно, лишь когда три точки лежат на одной прямой. Складывая их, получим $2AD \leq BD + AB + AC + CD$. Сопоставляя с полученным ранее, получаем $2AD = BD + AB + AC + CD$. Отсюда сразу следует, что точки $A, B, C$ и $D$ лежат на одной прямой и все ранее выписанные неравенства являются равенствами; из них следует, что точки $B$ и $C$ лежат на отрезке $AD$ и $AB = CD$.
а) Точки $B$ и $C$ лежат внутри отрезка $AD$. Докажите, что если $AB$ равно $CD$, то для любой точки $P$ плоскости выполняется неравенство: $PA + PD \geq PB + PC$.
б) На плоскости отмечены точки $A, B, C$ и $D$. Известно, что для любой точки $P$ выполняется неравенство $PA + PD \geq PB + PC$. Докажите, что точки $B$ и $C$ лежат на отрезке $AD$ и $AB = CD$.
Решение:
а) Если точка $P$ лежит на прямой $AD$, утверждение очевидно.
Пусть $P$ не лежит на $AD$ и $O$ - середина отрезка $AD$. Пусть $P^{ \prime}$ - точка, симметричная точке $P$ относительно $O$. Четырехугольники $BPCP^{ \prime}$ и $P^{ \prime}APD$ - параллелограммы и $AP + PD = AP^{ \prime} + AP > P^{ \prime}B + PB = BP + PC$.
б) В условии $P$ - произвольная точка. Выбирая $P = A$, получим $AD \geq AB + AC$. Теперь положим $P = D$; тогда $AD \geq BD + DC$. Сложив эти неравенства, получаем $2AD \geq AB + AC + BD + CD$.
С другой стороны, всегда $AD < AC + CD$ и $AD < AB + BD$, причем в каждом из неравенств равенство возможно, лишь когда три точки лежат на одной прямой. Складывая их, получим $2AD \leq BD + AB + AC + CD$. Сопоставляя с полученным ранее, получаем $2AD = BD + AB + AC + CD$. Отсюда сразу следует, что точки $A, B, C$ и $D$ лежат на одной прямой и все ранее выписанные неравенства являются равенствами; из них следует, что точки $B$ и $C$ лежат на отрезке $AD$ и $AB = CD$.
