Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3594
2019-06-12 
Докажите, что сумма длин ребер многогранника больше $3d$, где $d$ - расстояние между наиболее удаленными вершинами многогранника.
Решение:
Пусть $A$ и $B$ - две вершины многогранника, удаленные на расстояние $d$. Через точки $А$ и $В$ проведем плоскости, перпендикулярные прямой $AB$.
Ясно, что весь многогранник заключен между этими двумя плоскостями. Через каждую вершину многогранника проведем плоскость, перпендикулярную $AB$. Рассмотрим две соседние из проведенных плоскостей. Между ними расположены, очевидно, по крайней мере три отрезка ребер. Проекция каждого отрезка на прямую $AB$ не меньше длины этого отрезка, причем среди них наверняка найдутся отрезки, не параллельные $AB$. Поэтому общая сумма длин всех таких отрезков, т. е. сумма длин ребер, больше чем $3 \cdot AB = 3d$.
Короче это решение можно пояснить так: проекция остова многогранника на отрезок покрывает его по меньшей мере троекратно.
Докажите, что сумма длин ребер многогранника больше $3d$, где $d$ - расстояние между наиболее удаленными вершинами многогранника.
Решение:
Пусть $A$ и $B$ - две вершины многогранника, удаленные на расстояние $d$. Через точки $А$ и $В$ проведем плоскости, перпендикулярные прямой $AB$.
Ясно, что весь многогранник заключен между этими двумя плоскостями. Через каждую вершину многогранника проведем плоскость, перпендикулярную $AB$. Рассмотрим две соседние из проведенных плоскостей. Между ними расположены, очевидно, по крайней мере три отрезка ребер. Проекция каждого отрезка на прямую $AB$ не меньше длины этого отрезка, причем среди них наверняка найдутся отрезки, не параллельные $AB$. Поэтому общая сумма длин всех таких отрезков, т. е. сумма длин ребер, больше чем $3 \cdot AB = 3d$.
Короче это решение можно пояснить так: проекция остова многогранника на отрезок покрывает его по меньшей мере троекратно.
