Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3593
2019-06-12 
Самолет-разведчик летает по кругу с центром в точке $A$. Радиус круга 10 км, скорость самолета - 1000 км/ч. В некоторый момент из точки $А$ выпускается ракета, которая имеет ту же скорость, что и самолет, и управляется так, что она все время находится на прямой, соединяющей самолет с точкой $А$. Через какое время после запуска ракета догонит самолет?
Решение:
Нужно заметить, что траектория воображаемой «ракеты» в условиях задачи - окружность вдвое меньшего радиуса (рис.): градусная величина дуги $AR$ вдвое большое $\angle QAP$ (угла между касательной и хордой), т.е. вдвое больше градусной величины дуги $\breve{QP}$ вдвое большего радиуса; поэтому длины этих дуг (для каждого положения $R$) равны. До встречи самолет пройдет четверть окружности, ракета - половину.
Нужно было бы, конечно, доказать единственность траектории ракеты, удовлетворяющей условию. Она вытекает сравнительно несложно из общей теоремы о единственности функции с данным значением при $t = 0$ и данной производной; если в момент времени $t$ ракета ушла на расстояние $AR = AQ f(t)$ от точки $А$ (причем $f(0) = 0$), то ее скорость в перпендикулярном $vf(t)$, по радиусу $- v \sqrt {1 - f^2 (t)} = f(t)$, так что $\frac {f^{ \prime}(t)}{\sqrt {1 - f^2 (t)}} = v$, т.е. $(\arcsin f(t))^{ \prime} = v$, откуда $f(t) = \sin vt$.
Ответ: через $\frac{ \pi}{200}$ ч.
Самолет-разведчик летает по кругу с центром в точке $A$. Радиус круга 10 км, скорость самолета - 1000 км/ч. В некоторый момент из точки $А$ выпускается ракета, которая имеет ту же скорость, что и самолет, и управляется так, что она все время находится на прямой, соединяющей самолет с точкой $А$. Через какое время после запуска ракета догонит самолет?
Решение:
Нужно заметить, что траектория воображаемой «ракеты» в условиях задачи - окружность вдвое меньшего радиуса (рис.): градусная величина дуги $AR$ вдвое большое $\angle QAP$ (угла между касательной и хордой), т.е. вдвое больше градусной величины дуги $\breve{QP}$ вдвое большего радиуса; поэтому длины этих дуг (для каждого положения $R$) равны. До встречи самолет пройдет четверть окружности, ракета - половину.
Нужно было бы, конечно, доказать единственность траектории ракеты, удовлетворяющей условию. Она вытекает сравнительно несложно из общей теоремы о единственности функции с данным значением при $t = 0$ и данной производной; если в момент времени $t$ ракета ушла на расстояние $AR = AQ f(t)$ от точки $А$ (причем $f(0) = 0$), то ее скорость в перпендикулярном $vf(t)$, по радиусу $- v \sqrt {1 - f^2 (t)} = f(t)$, так что $\frac {f^{ \prime}(t)}{\sqrt {1 - f^2 (t)}} = v$, т.е. $(\arcsin f(t))^{ \prime} = v$, откуда $f(t) = \sin vt$.
Ответ: через $\frac{ \pi}{200}$ ч.
