Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3587
2019-06-12 
$n^2$ чисел $x_{ij}$ ($i,j = 1, 2, \cdots, n$) удовлетворяют системе из $n^3$ уравнений:
$x_{ij} + x_{jk} + x_{ki} = 0 (i, j, k = 1, 2, \cdots, n)$.
Докажите, что существуют такие числа $a_1, a_2, \cdots, a_n$, что $x_{ij} = a_i - a_j$ для любых $i$ и $j$.
Решение:
Нетрудно доказать, что $x_{ii} = 0$ и $x_{ik} = - x_ki$ для всех $i$ и $k$. Сложив теперь $n$ уравнений $x_{ij} + x_{jk} + x_{ki} = 0$ с фиксированными $i$ и $j$ ($k = 1, 2, \cdots, n$), получим
$nx_{ij} = s_i - s_j$,
где $s_j$ - сумма всех чисел вида $x_{jk}$ ($k = 1, 2, \cdots, n)$. Положим теперь $a_i = \frac{s_i}{n}$, тогда $x_{ij} = a_i - a_j$, что и требовалось.
$n^2$ чисел $x_{ij}$ ($i,j = 1, 2, \cdots, n$) удовлетворяют системе из $n^3$ уравнений:
$x_{ij} + x_{jk} + x_{ki} = 0 (i, j, k = 1, 2, \cdots, n)$.
Докажите, что существуют такие числа $a_1, a_2, \cdots, a_n$, что $x_{ij} = a_i - a_j$ для любых $i$ и $j$.
Решение:
Нетрудно доказать, что $x_{ii} = 0$ и $x_{ik} = - x_ki$ для всех $i$ и $k$. Сложив теперь $n$ уравнений $x_{ij} + x_{jk} + x_{ki} = 0$ с фиксированными $i$ и $j$ ($k = 1, 2, \cdots, n$), получим
$nx_{ij} = s_i - s_j$,
где $s_j$ - сумма всех чисел вида $x_{jk}$ ($k = 1, 2, \cdots, n)$. Положим теперь $a_i = \frac{s_i}{n}$, тогда $x_{ij} = a_i - a_j$, что и требовалось.
