Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3584
2019-06-12 
На маленьком острове стоит прожектор, луч которого освещает отрезок поверхности моря длиной $а$ (рис.). Прожектор равномерно вращается вокруг вертикальной оси так, что конец его луча перемещается со скоростью $v$. Докажите, что катер, имеющий максимальную скорость $v/8$, не сможет подойти к острову, не попав в луч прожектора.
Решение:
Если катер входит в круг $k$, освещаемый прожектором, в точке $A$, то через промежуток времени $\frac{5 \pi}{2} \cdot \frac{a}{v}$ - он будет находиться на расстоянии не больше $\frac{5 \pi}{2} \cdot \frac{a}{v} \cdot \frac{v}{8}$ от точки $A$ - в одной из точек заштрихованного на рис. пересечения круга $k$ и круга радиуса $\frac{5 \pi a}{16} < а$ с центром $A$. Легко видеть, что за это время луч прожектора повернется на угол $\frac{5 \pi}{2}$ и «просмотрит» всю заштрихованную область, следовательно, катер будет обнаружен.
Более тонкие рассуждения (показывают, что наименьшая скорость, при которой катер сможет подойти к острову, равна $v_{min} = v \cos \beta$, где $\beta$ - корень уравнения $2 \pi + \beta = tg \beta$, $0 < \beta < \frac{ \pi}{2}$; $v_{min} \approx 0,13v$.
На маленьком острове стоит прожектор, луч которого освещает отрезок поверхности моря длиной $а$ (рис.). Прожектор равномерно вращается вокруг вертикальной оси так, что конец его луча перемещается со скоростью $v$. Докажите, что катер, имеющий максимальную скорость $v/8$, не сможет подойти к острову, не попав в луч прожектора.
Решение:
Если катер входит в круг $k$, освещаемый прожектором, в точке $A$, то через промежуток времени $\frac{5 \pi}{2} \cdot \frac{a}{v}$ - он будет находиться на расстоянии не больше $\frac{5 \pi}{2} \cdot \frac{a}{v} \cdot \frac{v}{8}$ от точки $A$ - в одной из точек заштрихованного на рис. пересечения круга $k$ и круга радиуса $\frac{5 \pi a}{16} < а$ с центром $A$. Легко видеть, что за это время луч прожектора повернется на угол $\frac{5 \pi}{2}$ и «просмотрит» всю заштрихованную область, следовательно, катер будет обнаружен.
Более тонкие рассуждения (показывают, что наименьшая скорость, при которой катер сможет подойти к острову, равна $v_{min} = v \cos \beta$, где $\beta$ - корень уравнения $2 \pi + \beta = tg \beta$, $0 < \beta < \frac{ \pi}{2}$; $v_{min} \approx 0,13v$.
