Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3582
2019-06-12 
Около треугольника $ABC$ описаны окружность. Хорды, соединяющие середину дуги $AC$ с серединами дуг $AB$ и $BC$, пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что отрезок $DE$ параллелен стороне $AC$ и проходит через центр вписанной окружности треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть $L, M$ и $N$ - середины дуг $AB, BC$ и $CA, O$ - центр вписанной окружности треугольника $ABC, D$ и $K$ - точки пересечения отрезка $LN$ со сторонами $AB$ и $АС$ (рис.).
Докажем, что четырехугольник $ADOK$ - ромб. Для этого достаточно убедиться, что диагонали $AO$ и $DK$ служат осями симметрии этого четырехугольника.
В самом деле, $AM \perp LN$, поскольку $\breve{LB} + \breve{BM} + \breve{AN} = 180^{\circ}$; поэтому точки $D$ и $K$ симметричны относительно прямой $AM$ (биссектрисы угла $BAC$), точки $A$ и $O$ симметричны относительно прямой $LN$ (биссектрисы угла $ANB$).
Отсюда следует, что $DO \parallel AC$; аналогично можно доказать, что $EO \parallel AC$, где $E$ - точка пересечения отрезка $MN$ со стороной $BC$. Итак, точки $D, O$ и $E$ лежат на одной прямой, параллельной $AC$.
Около треугольника $ABC$ описаны окружность. Хорды, соединяющие середину дуги $AC$ с серединами дуг $AB$ и $BC$, пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что отрезок $DE$ параллелен стороне $AC$ и проходит через центр вписанной окружности треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть $L, M$ и $N$ - середины дуг $AB, BC$ и $CA, O$ - центр вписанной окружности треугольника $ABC, D$ и $K$ - точки пересечения отрезка $LN$ со сторонами $AB$ и $АС$ (рис.).
Докажем, что четырехугольник $ADOK$ - ромб. Для этого достаточно убедиться, что диагонали $AO$ и $DK$ служат осями симметрии этого четырехугольника.
В самом деле, $AM \perp LN$, поскольку $\breve{LB} + \breve{BM} + \breve{AN} = 180^{\circ}$; поэтому точки $D$ и $K$ симметричны относительно прямой $AM$ (биссектрисы угла $BAC$), точки $A$ и $O$ симметричны относительно прямой $LN$ (биссектрисы угла $ANB$).
Отсюда следует, что $DO \parallel AC$; аналогично можно доказать, что $EO \parallel AC$, где $E$ - точка пересечения отрезка $MN$ со стороной $BC$. Итак, точки $D, O$ и $E$ лежат на одной прямой, параллельной $AC$.
