Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3580
2019-06-12 
а) Каждое из чисел $x_1, x_2, \cdots, x_n$ может независимо от остальных принимать значение 1, 0 или -1. Какое наименьшее значение может иметь сумма всевозможных попарных произведений этих $n$ чисел?
б) Какое наименьшее значение может принимать сумма всевозможных попарных произведений $n$ чисел $x_1, x_2, \cdots, x_n$, каждое из которых по абсолютной величине не превосходит единицы?
Ответ: минимальное значение $s_{min}$ равно $- \left [ \frac{n}{2} \right ]$, т. е. $- \frac{n}{2}$, если $n$ четно, и $- \frac{n - 1}{2}$, если $n$ нечетно.
Решение:
а) Сумму $s$ всевозможных попарных произведений чисел $x_1, x_2, \cdots, x_n$ можно записать так:
$s = \frac{1}{2} ((x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^2 - x_1^2 - x_2^2 - \cdots - x_n^2)$.
Отсюда видно, что $s \geq - \frac{n}{2}$.
Если $n$ четно, то, положив половину из $x_k$ равными 1, а половину равными -1, получим $s = - \frac{n}{2}$. Если же $n$ нечетно, то (поскольку $s$ - целое число) $s \geq - \frac{n - 1}{2}$; наименьшее значение $s$ достигается, если среди $x_k$ имеется $\frac{n + 1}{2}$ единиц и $\frac{n - 1}{2}$ минус единиц.
б) Сводится к задаче а): каждое из $x_k$ можно последовательно заменить на 1 или -1 так, что величина суммы всевозможных попарных произведений не будет увеличиваться (правило замены: $x_k$ заменяем на -1, если сумма остальных чисел неотрицательна, и на 1, если отрицательна). Поэтому здесь такой же ответ, как в задаче а).
а) Каждое из чисел $x_1, x_2, \cdots, x_n$ может независимо от остальных принимать значение 1, 0 или -1. Какое наименьшее значение может иметь сумма всевозможных попарных произведений этих $n$ чисел?
б) Какое наименьшее значение может принимать сумма всевозможных попарных произведений $n$ чисел $x_1, x_2, \cdots, x_n$, каждое из которых по абсолютной величине не превосходит единицы?
Ответ: минимальное значение $s_{min}$ равно $- \left [ \frac{n}{2} \right ]$, т. е. $- \frac{n}{2}$, если $n$ четно, и $- \frac{n - 1}{2}$, если $n$ нечетно.
Решение:
а) Сумму $s$ всевозможных попарных произведений чисел $x_1, x_2, \cdots, x_n$ можно записать так:
$s = \frac{1}{2} ((x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^2 - x_1^2 - x_2^2 - \cdots - x_n^2)$.
Отсюда видно, что $s \geq - \frac{n}{2}$.
Если $n$ четно, то, положив половину из $x_k$ равными 1, а половину равными -1, получим $s = - \frac{n}{2}$. Если же $n$ нечетно, то (поскольку $s$ - целое число) $s \geq - \frac{n - 1}{2}$; наименьшее значение $s$ достигается, если среди $x_k$ имеется $\frac{n + 1}{2}$ единиц и $\frac{n - 1}{2}$ минус единиц.
б) Сводится к задаче а): каждое из $x_k$ можно последовательно заменить на 1 или -1 так, что величина суммы всевозможных попарных произведений не будет увеличиваться (правило замены: $x_k$ заменяем на -1, если сумма остальных чисел неотрицательна, и на 1, если отрицательна). Поэтому здесь такой же ответ, как в задаче а).
