2014-06-07
Доказать, что последовательность ненулевых чисел $a_{1},a_{2}, \cdots$, удовлетворяющая для некоторого числа $a$ условиям
$a_{1}, a_{2} \in \mathbf{Z}, (a_{1}^{2} + a^{2}_{2} + a)/(a_{1}a_{2}) \in \mathbf{Z}, a_{n+2} = (a^{2}_{n+1} + a)/a_{n}$
при $n \in \mathbf{N}$, состоит из целых чисел.
Решение:
Заметим, что для указанной в задаче последовательности справедливы соотношения
$a_{n+1}a_{n+3} + a_{n+1}=a^{2}_{n+2} + a + a^{2}_{n+1} = a^{2}_{n+2} + a_{n}a_{n+2}, n \in \mathbf{N}$,
из которых получаем равенство
$(a_{n+3} + a_{n+1})/a_{n+2} = (a_{n+2} +a_{n}) / a_{n+1}$.
Полому, если обозначить $b_{n} = (a_{n+2} + a_{n})/a_{n+1}$, то имеют место равенства $b_{1} = b_{2} = b_{3} = \cdots = b$, откуда получаем
$(a_{n+2} +a_{n})/a_{n+1} = b_{n} = b_{1} = (a_{3} + a_{1})/a_{2} = ((a^{2}_{2} + a )/ a_{1} + a_{1})/a_{2} = (a_{1}^{2} + a^{2}_{2} + a)/(a_{1}a_{2}) \in \mathbf{Z}$.
т. е. $a_{n+2} = ba_{n+1} – a_{n}$, где $b \in \mathbf{Z}, n \in \mathbf{N}$. Поскольку $a_{1},a_{2} \in \mathbf{Z}$, то каждое из чисел $a_{3} = ba_{2} – a_{1}, a_{4} = ba_{3} – a_{2}, \cdots$ является целым.