ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-06-12   
$ABCD$ - описанная трапеция; $E$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$; $r_1, r_2, r_3,r_4$ - радиусы окружностей, вписанных в треугольники $ABE, BCE, CDE, DAE$ соответственно. Докажите, что

$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_4}$.


Решение:


Пусть $S_1, S_2, S_3, S_4$ и $2p_1, 2p_2, 2p_3, 2p_4$ - площади и периметры треугольников $ABE, BCE, CDE$ и $DAE$ соответственно. Нужно доказать равенство

$\frac{p_1}{S_1} + \frac{p_3}{S_3} = \frac{p_2}{S_2} + \frac{p_4}{S_4}$.

Поскольку $ABCD$ - трапеция, $S_1 = S_3 = S$. Поскольку $ABCD$ - описанный четырехугольник, $AB + CD = BC + AD$. Прибавив к обеим частям этого равенства сумму диагоналей, получим $2p_1 + 2p_3 = 2p_2 + 2p_4$. Чтобы получить отсюда требуемое равенство, нужно разделить обе части на $2S$ и воспользоваться соотношениями, вытекающими из равенств

$\frac{S_2}{S} = \frac{S}{S_4} = \frac{AE}{EC} = \frac{BE}{ED} = \frac{AB}{CD} = \frac{p_2}{p_4}$;
$\frac{p_2}{S} = \frac{p_4}{S_4}; \frac{p_4}{S} = \frac{p_2}{S_2}$.