Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3577
2019-06-12 
На какое наименьшее число неперекрывающихся тетраэдров можно разбить куб?
Решение:
Легко видеть, что куб можно разбить на 5 тетраэдров. На рис. это тетраэдры $AA^{ \prime}B^{ \prime}D^{ \prime}, AB^{ \prime}BC, ACDD^{ \prime}, B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}C$ и $ACD^{ \prime}B$.
Докажем теперь, что на меньшее число тетраэдров разбить куб нельзя. Пусть куб разбит на несколько тетраэдров. Имеются по крайней мере два из них, основания которых лежат на грани $ABCD$ куба. Точно так же имеются по крайней мере 2 тетраэдра с основаниями на грани $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$.
Эти тетраэдры заведомо отличны от первых двух, так как у тетраэдра не может быть двух параллельных граней. Итак, у нас уже есть 4 тетраэдра. Их общий объем не больше чем $\frac{2a^3}{3}$, т. е. меньше объема куба. Таким образом, на 4 тетраэдра куб разбить нельзя.
На какое наименьшее число неперекрывающихся тетраэдров можно разбить куб?
Решение:
Легко видеть, что куб можно разбить на 5 тетраэдров. На рис. это тетраэдры $AA^{ \prime}B^{ \prime}D^{ \prime}, AB^{ \prime}BC, ACDD^{ \prime}, B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}C$ и $ACD^{ \prime}B$.
Докажем теперь, что на меньшее число тетраэдров разбить куб нельзя. Пусть куб разбит на несколько тетраэдров. Имеются по крайней мере два из них, основания которых лежат на грани $ABCD$ куба. Точно так же имеются по крайней мере 2 тетраэдра с основаниями на грани $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$.
Эти тетраэдры заведомо отличны от первых двух, так как у тетраэдра не может быть двух параллельных граней. Итак, у нас уже есть 4 тетраэдра. Их общий объем не больше чем $\frac{2a^3}{3}$, т. е. меньше объема куба. Таким образом, на 4 тетраэдра куб разбить нельзя.
