Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3576
2019-06-12 
В выражении $x_1 : x_2 : \cdots x_n$ для указания порядка действий расставляются скобки и результат записывается в виде дроби:
$\frac {x_{i_1} x_{i_2} \cdots x_{i_k}}{x_{j_1} x_{j_2} \cdots x_{j_{n-k}}}$
(при этом каждая из букв $x_1, x_2, \cdots x_n$ стоит либо в числителе дроби, либо в знаменателе). Сколько различных выражений можно таким образом получить при всевозможных способах расстановки скобок?
Решение:
Прежде всего ясно, что в полученной дроби $x_1$ будет стоять в числителе. Почти столь же очевидно, что $x_2$ окажется в знаменателе при любой расстановке скобок (знак деления, стоящий перед $x_2$, относится либо к самому $x_2$, либо к какому-либо выражению, содержащему $x_2$ в числителе).
Оказывается, что остальные буквы $x_3, x_4, \cdots, x_n$ могут располагаться в числителе или знаменателе совершенно произвольным образом; отсюда следует, что всего можно получить $2^{n-2}$ дробей: каждая из $n - 2$ букв $x_3, x_4, \cdots, x_n$ может оказаться независимо от остальных в числителе или знаменателе.
Докажем это утверждение по индукции. При $n = 3$ можно получить 2 дроби:
$(x_1 : x_2) : x_3 = \frac{x_1}{x_2 \cdot x_3}$ и $x_1 : (x_2 : x_3) = \frac{x_1x_3}{x_2}$,
так что утверждение справедливо.
Предположим, что оно справедливо при $n = k$ и докажем его для $n = k + 1$.
Пусть выражение $x_1 : x_2 : \cdots : x_k$ после некоторой расстановки скобок записывается в виде некоторой дроби $А$. Если в это выражение вместо $x_k$ подставить $x_k : x_{k+1}$, то $x_k$ окажется там же, где и было в дроби $A$, а $x_{k+1}$ будет стоять не там, где стояло $x_k$ (если $x_k$ было в знаменателе, то $x_{k+1}$ окажется в числителе и наоборот).
Теперь докажем, что можно добавить $x_{k+1}$ туда же, где стоит $x_k$. В дроби $А$ после расстановки скобок обязательно будет выражение вида ($p : x_k$), где $p$ - буква $x_{k-1}$ или некоторая скобка; заменив ($p : x_k$) выражением ($(p : x_k) : x_{k+1}) = p : (x_k \cdot x_{k+1}$), мы получим, очевидно, ту же самую дробь $A$, где вместо $x_k$ стоит $x_k \cdot x_{k+1}$. Тем самым утверждение доказано.
Ответ: $2^{n-2}$ дробей.
В выражении $x_1 : x_2 : \cdots x_n$ для указания порядка действий расставляются скобки и результат записывается в виде дроби:
$\frac {x_{i_1} x_{i_2} \cdots x_{i_k}}{x_{j_1} x_{j_2} \cdots x_{j_{n-k}}}$
(при этом каждая из букв $x_1, x_2, \cdots x_n$ стоит либо в числителе дроби, либо в знаменателе). Сколько различных выражений можно таким образом получить при всевозможных способах расстановки скобок?
Решение:
Прежде всего ясно, что в полученной дроби $x_1$ будет стоять в числителе. Почти столь же очевидно, что $x_2$ окажется в знаменателе при любой расстановке скобок (знак деления, стоящий перед $x_2$, относится либо к самому $x_2$, либо к какому-либо выражению, содержащему $x_2$ в числителе).
Оказывается, что остальные буквы $x_3, x_4, \cdots, x_n$ могут располагаться в числителе или знаменателе совершенно произвольным образом; отсюда следует, что всего можно получить $2^{n-2}$ дробей: каждая из $n - 2$ букв $x_3, x_4, \cdots, x_n$ может оказаться независимо от остальных в числителе или знаменателе.
Докажем это утверждение по индукции. При $n = 3$ можно получить 2 дроби:
$(x_1 : x_2) : x_3 = \frac{x_1}{x_2 \cdot x_3}$ и $x_1 : (x_2 : x_3) = \frac{x_1x_3}{x_2}$,
так что утверждение справедливо.
Предположим, что оно справедливо при $n = k$ и докажем его для $n = k + 1$.
Пусть выражение $x_1 : x_2 : \cdots : x_k$ после некоторой расстановки скобок записывается в виде некоторой дроби $А$. Если в это выражение вместо $x_k$ подставить $x_k : x_{k+1}$, то $x_k$ окажется там же, где и было в дроби $A$, а $x_{k+1}$ будет стоять не там, где стояло $x_k$ (если $x_k$ было в знаменателе, то $x_{k+1}$ окажется в числителе и наоборот).
Теперь докажем, что можно добавить $x_{k+1}$ туда же, где стоит $x_k$. В дроби $А$ после расстановки скобок обязательно будет выражение вида ($p : x_k$), где $p$ - буква $x_{k-1}$ или некоторая скобка; заменив ($p : x_k$) выражением ($(p : x_k) : x_{k+1}) = p : (x_k \cdot x_{k+1}$), мы получим, очевидно, ту же самую дробь $A$, где вместо $x_k$ стоит $x_k \cdot x_{k+1}$. Тем самым утверждение доказано.
Ответ: $2^{n-2}$ дробей.
