Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3575
2019-06-12 
$a, b$ и $n$ - фиксированные натуральные числа. Известно, что при любом натуральном $k (k \neq b)$ число $a - k^n$ делится без остатка на $b - k$. Докажите, что $a = b^n$.
Решение:
Так как $k^n - b^n = (k - b) (k^{n-1} + k^{n-2} b + \cdots + b^{n-1})$, то $k^n - b^n$ делится на $k - b$.
Таким образом, $(k^n - b^n) - (k^n -a) = a - b^n$ делится на $k - b$ при любом $k \neq b$, но это может быть только тогда, когда $a = b^n$.
$a, b$ и $n$ - фиксированные натуральные числа. Известно, что при любом натуральном $k (k \neq b)$ число $a - k^n$ делится без остатка на $b - k$. Докажите, что $a = b^n$.
Решение:
Так как $k^n - b^n = (k - b) (k^{n-1} + k^{n-2} b + \cdots + b^{n-1})$, то $k^n - b^n$ делится на $k - b$.
Таким образом, $(k^n - b^n) - (k^n -a) = a - b^n$ делится на $k - b$ при любом $k \neq b$, но это может быть только тогда, когда $a = b^n$.
