Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3572
2019-06-12 
Найдите все нечетные натуральные $n$, для которых $(n- 1)!$ не делится на $n^2$.
Решение:
Если $n$ можно представить в виде $n = ab$, где $a \geq 3, b \geq 3, a \geq b$, то в произведение $1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot (n-1)$ входят множители $a, 2a$ и $b, 2b$, поэтому $(n - 1)!$ делится на $a^2b^2 = n^2$.
Если $n = p^2$, где $p$ - простое число, то при $p^2 - 1 \geq 4p$ в произведение $(p^2 - 1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3\cdot \cdots \cdot (p^2- 1)$ входят числа $p, 2p, 3p$ и $4p$? и оно делится на $p^4 = n^2$. (Неравенство $p - 4p - 1 \geq 0$ выполнено при всех простых $p \geq 5$.)
Остаются две возможности: $n$ - простое число (в этом случае $(n - 1)!$ не делится даже на $n$) и $n = 9$ (в этом случае 8! делится на 9, но не делится на 81).
Согласно известной теореме Вильсона при простом $p$ число $(p - 1)!$ всегда дает остаток $(p - 1)$ при делении на $p$.
Ответ: $n$ - простое число и $n = 9$.
Найдите все нечетные натуральные $n$, для которых $(n- 1)!$ не делится на $n^2$.
Решение:
Если $n$ можно представить в виде $n = ab$, где $a \geq 3, b \geq 3, a \geq b$, то в произведение $1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot (n-1)$ входят множители $a, 2a$ и $b, 2b$, поэтому $(n - 1)!$ делится на $a^2b^2 = n^2$.
Если $n = p^2$, где $p$ - простое число, то при $p^2 - 1 \geq 4p$ в произведение $(p^2 - 1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3\cdot \cdots \cdot (p^2- 1)$ входят числа $p, 2p, 3p$ и $4p$? и оно делится на $p^4 = n^2$. (Неравенство $p - 4p - 1 \geq 0$ выполнено при всех простых $p \geq 5$.)
Остаются две возможности: $n$ - простое число (в этом случае $(n - 1)!$ не делится даже на $n$) и $n = 9$ (в этом случае 8! делится на 9, но не делится на 81).
Согласно известной теореме Вильсона при простом $p$ число $(p - 1)!$ всегда дает остаток $(p - 1)$ при делении на $p$.
Ответ: $n$ - простое число и $n = 9$.
