Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3571
2019-06-12 
Из вершин выпуклого четырехугольника $ABCD$ опущены перпендикуляры на его диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный их основаниями, подобен исходному.
Решение:
Пусть $A_1, B_1, C_1, D_1$ - основания перпендикуляров, опущенных из вершин $A, B, C$ и $D$ на диагонали $BD$ и $AC$, $O$ - точка пересечения диагоналей, а $\alpha$ - величина острого угла между ними (рис.). Тогда $OA_1 = OA \cdot \cos \alpha; OB_1 = OB \cdot \cos \alpha; OC_1 = OC \cdot \cos \alpha; OD_1 = OD \cdot \cos \alpha$. Поэтому треугольники $A_1OB_1, B_1OC_1, C_1OD_1$ и $D_1OA_1$ подобны треугольникам $AOB, BOC, COD$ и $DOA$ с коэффициентом подобия $\cos \alpha$.
Отсюда следует и подобие четырехугольников $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.
Заметим, что второй из четырехугольников получается из первого композицией следующих преобразований: симметрии относительно биссектрисы острого угла между диагоналями и гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $\cos \alpha$.
Из вершин выпуклого четырехугольника $ABCD$ опущены перпендикуляры на его диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный их основаниями, подобен исходному.
Решение:
Пусть $A_1, B_1, C_1, D_1$ - основания перпендикуляров, опущенных из вершин $A, B, C$ и $D$ на диагонали $BD$ и $AC$, $O$ - точка пересечения диагоналей, а $\alpha$ - величина острого угла между ними (рис.). Тогда $OA_1 = OA \cdot \cos \alpha; OB_1 = OB \cdot \cos \alpha; OC_1 = OC \cdot \cos \alpha; OD_1 = OD \cdot \cos \alpha$. Поэтому треугольники $A_1OB_1, B_1OC_1, C_1OD_1$ и $D_1OA_1$ подобны треугольникам $AOB, BOC, COD$ и $DOA$ с коэффициентом подобия $\cos \alpha$.
Отсюда следует и подобие четырехугольников $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.
Заметим, что второй из четырехугольников получается из первого композицией следующих преобразований: симметрии относительно биссектрисы острого угла между диагоналями и гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $\cos \alpha$.
