2014-06-07
Найти все значения $a_{0} \in \mathbf{R}$, для которых последовательность $a_{0}, a_{1}, \cdots,$ определенная равенствами $a_{n+1} = 2^{n} – 3a_{n}$ при $n \in \mathbf{Z}^{+}$, возрастает.
Решение:
При $n \in \mathbf{N}$ имеем равенства
$a_{n} = 2^{n-1} – 3a_{n-1} = 2^{n-1} – 3 \cdot 2^{n-2} + 9 \cdot a_{n-2} = \cdots$
$\cdots = 2^{n-1} – 3^{1} \cdot 2^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1} 3^{n-1} + (-1)^{n} 3^{n} a_{0}$.
из которых получаем формулу
$a_{n} = (2^{n} + (-1)^{n+1}3^{n})/5 + (-1)^{n}3^{n}a_{0}$.
справедливую также и при $n =0$. Далее, находим разность
$d_{n} =a_{n} – a_{n-1} = (2^{n} + (-1)^{n+1}3^{n}/5 + (-1)^{n}3^{n}a_{0} -$
$- (2^{n-1} + (-1)^{n}3^{n-1})/5 – (-1)^{n-1}3^{n-1}a_{0} =$
$= 2^{n-1}/5 + (-1)^{n+1} \cdot 4 \cdot 3^{n-1} (1/5 – a_{0}) =$
$= 2^{n-1}/5 +(-1)^{n+1} \cdot 4 \cdot 3^{n-1}(1/5 – a_{0}) =$
$= (2^{n-1}/5) (1 + 4 \cdot (-1)^{n+1}(3/2)^{n-1}(1- 5a_{0}))$.
Если $1 – 5a_{0} > 0$, то $d_{n} < 0$ при достаточно больших четных значениях $n$, а если $1- 5a_{0} < 0$, то $d_{n} < 0$ при достаточно больших нечетных значениях $n$. Следовательно, если $a_{0} \neq 1/5$, то последовательность $\{ a_{n} \}$ не является возрастающей. Если же $a_{0} = 1/5$, то $d_{n} = 2^{n-1}/5 >0$ при всех $n \in \mathbf{N}$, а значит, последовательность $\{ a_{n} \}$ возрастает.