Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3569
2019-06-12 
а) В выпуклом шестиугольнике $ABCDEF$ все углы равны. Докажите, что
$AB - DE = EF - BC = CD - FA$.
б) Обратно, докажите, что из шести отрезков, длины которых $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ удовлетворяют соотношениям $a_1 - a_4 = a_5 - a_2 = a_3 - a_6$ можно построить выпуклый шестиугольник с равными углами.
Решение:
а) Величина каждого из углов шестиугольника $120^{\circ}$ и, следовательно, противоположные его стороны параллельны. Можно считать при этом, что $AB \geq DE$ (рис.).
Построим теперь параллелограммы $ABCK, CDEL, AFEM$. Если точки $K, L, M$ не совпадают, то все углы треугольника
$KLM$ составляют по $60^{\circ}$, откуда $KL = LM = KM$ и, следовательно,
$AB - DE = CD - FA = FE - BC$.
б) Можно считать, что $a_1 > a_4$. Построим правильный треугольник $KLM$ со сторонами
$KL = LM = MK = a_1 - a_4 = a_3 - a_6 = a_5 - a_2$.
Отложим на продолжении $KL$ отрезок $LC = a_4$, на продолжении $LM$ - отрезок $ME = a_6$, на продолжении $MK$ - отрезок $KA = a_2$ и построим параллелограммы $AKCB, CLED, AFEM$. Полученный шестиугольник $ABCDEF$ - искомый.
а) В выпуклом шестиугольнике $ABCDEF$ все углы равны. Докажите, что
$AB - DE = EF - BC = CD - FA$.
б) Обратно, докажите, что из шести отрезков, длины которых $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ удовлетворяют соотношениям $a_1 - a_4 = a_5 - a_2 = a_3 - a_6$ можно построить выпуклый шестиугольник с равными углами.
Решение:
а) Величина каждого из углов шестиугольника $120^{\circ}$ и, следовательно, противоположные его стороны параллельны. Можно считать при этом, что $AB \geq DE$ (рис.).
Построим теперь параллелограммы $ABCK, CDEL, AFEM$. Если точки $K, L, M$ не совпадают, то все углы треугольника
$KLM$ составляют по $60^{\circ}$, откуда $KL = LM = KM$ и, следовательно,
$AB - DE = CD - FA = FE - BC$.
б) Можно считать, что $a_1 > a_4$. Построим правильный треугольник $KLM$ со сторонами
$KL = LM = MK = a_1 - a_4 = a_3 - a_6 = a_5 - a_2$.
Отложим на продолжении $KL$ отрезок $LC = a_4$, на продолжении $LM$ - отрезок $ME = a_6$, на продолжении $MK$ - отрезок $KA = a_2$ и построим параллелограммы $AKCB, CLED, AFEM$. Полученный шестиугольник $ABCDEF$ - искомый.
