Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3568
2019-06-12 
Дан произвольный набор $n$ целых чисел $a_1, a_2, \cdots, a_{2k+1}$. Из него получается новый набор: $\frac{a_1 + a_2}{2}, \frac{a_2 + a_3}{2}, \cdots, \frac{a_{n-1} + a_n}{2}, \frac{a_n + a_1}{2}$; из этого набора - следующий по тому же правилу и т. д. Докажите, что если все получающиеся числа целые, то все первоначальные числа равны.
Решение:
Какой бы набор из $n$ чисел $x_1 x_2, \cdots, x_n$ (среди которых не все равны между собой) мы ни взяли, через несколько шагов максимальное число набора уменьшится, а минимальное увеличится.
Отсюда ясно, что максимальное число не может все время оставаться целым, если, конечно, не получится набора из равных чисел ($a, a, a, \cdots a$).
Пусть из набора $z_1, z_2, \cdots, z_n$ впервые получается набор равных чисел:
$\frac{ z_1 + z_2}{2} = \frac{z_2 + z_3}{2} = \cdots = \frac{z_{n-1} + z_n}{2} = \frac{z_1 + z_n}{2}$.
Тогда числа $z_i$ равны через одно. При нечетном $n$ это невозможно.
Пусть $n$ четно. Посмотрим, из какого набора может получиться набор $(a,b,a,b,a,b, \cdots, a,b)$. Пусть
$\frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{y_3 + y_4}{2} = \frac{y_n + y_{n-1}}{2} = a$;
$\frac{y_2 + y_3}{2} = \frac{y_4 + y_5}{2} = \frac{y_n + y_1}{2} = b$.
Тогда
$y_1 + y_2 + \cdots + y_n = 2an$, $y_2 + y_3 + \cdots + y_n + y_1 = 2nb$,
т. е. $2an = 2nb$ и $а = b$.
Таким образом, набор из попарно равных чисел получен быть не может, что и доказывает утверждение задачи.
Дан произвольный набор $n$ целых чисел $a_1, a_2, \cdots, a_{2k+1}$. Из него получается новый набор: $\frac{a_1 + a_2}{2}, \frac{a_2 + a_3}{2}, \cdots, \frac{a_{n-1} + a_n}{2}, \frac{a_n + a_1}{2}$; из этого набора - следующий по тому же правилу и т. д. Докажите, что если все получающиеся числа целые, то все первоначальные числа равны.
Решение:
Какой бы набор из $n$ чисел $x_1 x_2, \cdots, x_n$ (среди которых не все равны между собой) мы ни взяли, через несколько шагов максимальное число набора уменьшится, а минимальное увеличится.
Отсюда ясно, что максимальное число не может все время оставаться целым, если, конечно, не получится набора из равных чисел ($a, a, a, \cdots a$).
Пусть из набора $z_1, z_2, \cdots, z_n$ впервые получается набор равных чисел:
$\frac{ z_1 + z_2}{2} = \frac{z_2 + z_3}{2} = \cdots = \frac{z_{n-1} + z_n}{2} = \frac{z_1 + z_n}{2}$.
Тогда числа $z_i$ равны через одно. При нечетном $n$ это невозможно.
Пусть $n$ четно. Посмотрим, из какого набора может получиться набор $(a,b,a,b,a,b, \cdots, a,b)$. Пусть
$\frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{y_3 + y_4}{2} = \frac{y_n + y_{n-1}}{2} = a$;
$\frac{y_2 + y_3}{2} = \frac{y_4 + y_5}{2} = \frac{y_n + y_1}{2} = b$.
Тогда
$y_1 + y_2 + \cdots + y_n = 2an$, $y_2 + y_3 + \cdots + y_n + y_1 = 2nb$,
т. е. $2an = 2nb$ и $а = b$.
Таким образом, набор из попарно равных чисел получен быть не может, что и доказывает утверждение задачи.
