Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3564
2019-06-12 
Дан равнобедренный треугольник. Найдите множество точек, лежащих внутри треугольника, расстояние от которых до основания равно среднему геометрическому расстояний до боковых сторон.
Решение:
Пусть $ABC$ - данный треугольник, $AB = BC$ и $M$ - некоторая точка искомого множества, $E, F$ и $H$ - ее проекции на стороны $AB, BC$ и $AC$ соответственно (рис.). Четырехугольники $AEMH$ и $CHMF$ подобны: у них соответственно равны углы и по условию пропорциональны пары соседних сторон ($EM : MH = MH : MF$), тем самым подобны друг другу и треугольники, на которые они разбиваются диагоналями: $\triangle EMA \propto \triangle HMC, \triangle AMH \propto \triangle CMF$. Отсюда
$\angle AMC = \angle AMH + \angle HMC = \angle HMC + \angle CMF = \angle HMF$.
Итак, величина $\angle AMC$ постоянна, откуда следует, что точка $M$ принадлежит дуге окружности, опирающейся на отрезок $AC$.
Можно проверить, что любая точка этой дуги принадлежит искомому множеству точек.
Если искать множество точек, расстояние которых до прямой $АС$ равно среднему геометрическому расстояний до прямых $AB$ и $BC$ на всей плоскости, а не только внутри треугольника, то искомое множество дополнится кусками гипербол.
Ответ: дуга окружности, касающейся боковых сторон треугольника в вершинах $А$ и $С$ основания.
Дан равнобедренный треугольник. Найдите множество точек, лежащих внутри треугольника, расстояние от которых до основания равно среднему геометрическому расстояний до боковых сторон.
Решение:
Пусть $ABC$ - данный треугольник, $AB = BC$ и $M$ - некоторая точка искомого множества, $E, F$ и $H$ - ее проекции на стороны $AB, BC$ и $AC$ соответственно (рис.). Четырехугольники $AEMH$ и $CHMF$ подобны: у них соответственно равны углы и по условию пропорциональны пары соседних сторон ($EM : MH = MH : MF$), тем самым подобны друг другу и треугольники, на которые они разбиваются диагоналями: $\triangle EMA \propto \triangle HMC, \triangle AMH \propto \triangle CMF$. Отсюда
$\angle AMC = \angle AMH + \angle HMC = \angle HMC + \angle CMF = \angle HMF$.
Итак, величина $\angle AMC$ постоянна, откуда следует, что точка $M$ принадлежит дуге окружности, опирающейся на отрезок $AC$.
Можно проверить, что любая точка этой дуги принадлежит искомому множеству точек.
Если искать множество точек, расстояние которых до прямой $АС$ равно среднему геометрическому расстояний до прямых $AB$ и $BC$ на всей плоскости, а не только внутри треугольника, то искомое множество дополнится кусками гипербол.
Ответ: дуга окружности, касающейся боковых сторон треугольника в вершинах $А$ и $С$ основания.
