Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3562
2019-06-12 
Найдите такие вещественные числа $a, b, p, q$, чтобы равенство
$(2x - 1)^{20} - (ax + b)^{20} = (x^2 + px + q)^{10}$
выполнялось при любых $x$.
Решение:
Подставляя $x = \frac{1}{2}$, получим
$\left ( \frac{a}{2} + b \right )^{20} + \left ( \frac{1}{4} + \frac{p}{2} + q \right )^{10} = 0$,
откуда $a = - 2b$. Теперь тождество принимает вид
$(2x - 1)^{20} = (- 2bx + b)^{20} + (x^2 + px + q)^{l0}$.
Вычисляя коэффициент при $x^{20}$ в обеих частях, получим
$2^{20} = 2^{20}b^{20} + 1; b = \pm \frac{ \sqrt [20]{2^{20} - 1}}{2}$.
Теперь тождество принимает вид
$\left ( x - \frac{1}{2} \right )^{20} = (x^2 + px + q)^{10}$,
откуда $x^2 + рx + q = \left ( x - \frac{1}{2} \right )^2$, т. е. $p = - 1, q = \frac{1}{4}$.
Ответ: $a_{1,2} = \pm \sqrt [20]{2^{20} - 1}; b_{1,2} = \mp \frac{ \sqrt [20]{2^{20} - 1}}{2}$, $p = -1, q = \frac{1}{4}$ (всего два набора коэффициентов).
Найдите такие вещественные числа $a, b, p, q$, чтобы равенство
$(2x - 1)^{20} - (ax + b)^{20} = (x^2 + px + q)^{10}$
выполнялось при любых $x$.
Решение:
Подставляя $x = \frac{1}{2}$, получим
$\left ( \frac{a}{2} + b \right )^{20} + \left ( \frac{1}{4} + \frac{p}{2} + q \right )^{10} = 0$,
откуда $a = - 2b$. Теперь тождество принимает вид
$(2x - 1)^{20} = (- 2bx + b)^{20} + (x^2 + px + q)^{l0}$.
Вычисляя коэффициент при $x^{20}$ в обеих частях, получим
$2^{20} = 2^{20}b^{20} + 1; b = \pm \frac{ \sqrt [20]{2^{20} - 1}}{2}$.
Теперь тождество принимает вид
$\left ( x - \frac{1}{2} \right )^{20} = (x^2 + px + q)^{10}$,
откуда $x^2 + рx + q = \left ( x - \frac{1}{2} \right )^2$, т. е. $p = - 1, q = \frac{1}{4}$.
Ответ: $a_{1,2} = \pm \sqrt [20]{2^{20} - 1}; b_{1,2} = \mp \frac{ \sqrt [20]{2^{20} - 1}}{2}$, $p = -1, q = \frac{1}{4}$ (всего два набора коэффициентов).
