2014-06-07
Для заданного числа $a_{1} \in \mathbf{R}$ определим последовательность $a_{1}, a_{2}, \cdots$ следующим образом:
$a_{n+1} = \begin{cases} (1/2)(a_{n} – 1/a_{n}),& \text{если}\: a_{n} \neq 0 \\ 0,& \text{если}\: a_{n} =0, \end{cases}$
при $n \in \mathbf{N}$. Доказать, что в этой последовательности имеется бесконечно много неположительных членов.
Решение:
Допустим, что множество неположительных членов конечно. Тогда найдется такое натуральное число $N$, что $a_{n} > 0$ для всех $n \geq N$. Но в этом случае для всех $n \geq N$ имеем также $a_{n} > 1$ (если $a_{n} \leq 1$, то $a_{n+1} =(1/2)(a_{n} -1/a_{n}) \leq 0$). С другой стороны,
$a_{N+1} = (1/2) (a_{N} – 1/a_{N}) < a_{N}/2$,
$a_{N+2} = (1/2) (a_{N+1} – 1/a_{N+1}) < a_{N+1}/2 < a_{N}/4$
и, вообще,
$a_{N+k} < a_{N}/2^{k}$ для всех $k \in \mathbf{N}$.
Поэтому $a_{N + k} < 1$, если $2^{k} > a_{N}$. Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.