Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3556
2019-06-12 
Дан равносторонний треугольник со стороной 1. При каком наименьшем $d$ отрезок длины $d$ может, скользя концами по сторонам треугольника, замести его целиком?
Решение:
Если отрезок заметает весь треугольник, то в некотором своем положении он проходит через его центр. Докажем, что из всех отрезков с концами на сторонах и проходящих через $O$ правильного треугольника самый короткий - отрезок $AB$, параллельный его стороне.
Пусть $A^{ \prime}B^{ \prime}$ - какой-либо отрезок с концами на тех же сторонах и проходящий через центр треугольника, причем $OB^{ \prime} < OA^{ \prime}$ (рис.). Тогда $AA^{ \prime} > BB^{ \prime}$ и ясно, что даже проекция этого отрезка на прямую $AB$ имеет длину, большую 2/3. Таким образом, отрезок, заметающий весь треугольник, не может быть короче 2/3.
С другой стороны, отрезком длины 2/3 можно замести весь треугольник. Для доказательства нужно убедиться, что через любую точку $P$ внутри треугольника можно провести отрезок длины 2/3 с концами на сторонах треугольника. Проведем через $P$ две прямые, параллельные самой близкой к $P$ и самой далекой от нее стороне. Они пересекают треугольник по отрезкам, длина первого из которых больше 2/3, а второго - меньше 2/3. Будем поворачивать прямую, проходящую через $P$, из первого положения во второе; в некотором промежуточном положении длина отрезка, по которому она пересекает треугольник, будет в точности равна 2/3.
Заметим, что, при всей очевидности последнего утверждения, для его строгого доказательства нужны соображения непрерывности.
Ответ: $d = \frac{2}{3}$.
Дан равносторонний треугольник со стороной 1. При каком наименьшем $d$ отрезок длины $d$ может, скользя концами по сторонам треугольника, замести его целиком?
Решение:
Если отрезок заметает весь треугольник, то в некотором своем положении он проходит через его центр. Докажем, что из всех отрезков с концами на сторонах и проходящих через $O$ правильного треугольника самый короткий - отрезок $AB$, параллельный его стороне.
Пусть $A^{ \prime}B^{ \prime}$ - какой-либо отрезок с концами на тех же сторонах и проходящий через центр треугольника, причем $OB^{ \prime} < OA^{ \prime}$ (рис.). Тогда $AA^{ \prime} > BB^{ \prime}$ и ясно, что даже проекция этого отрезка на прямую $AB$ имеет длину, большую 2/3. Таким образом, отрезок, заметающий весь треугольник, не может быть короче 2/3.
С другой стороны, отрезком длины 2/3 можно замести весь треугольник. Для доказательства нужно убедиться, что через любую точку $P$ внутри треугольника можно провести отрезок длины 2/3 с концами на сторонах треугольника. Проведем через $P$ две прямые, параллельные самой близкой к $P$ и самой далекой от нее стороне. Они пересекают треугольник по отрезкам, длина первого из которых больше 2/3, а второго - меньше 2/3. Будем поворачивать прямую, проходящую через $P$, из первого положения во второе; в некотором промежуточном положении длина отрезка, по которому она пересекает треугольник, будет в точности равна 2/3.
Заметим, что, при всей очевидности последнего утверждения, для его строгого доказательства нужны соображения непрерывности.
Ответ: $d = \frac{2}{3}$.
