Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3555
2019-06-12 
На окружности две точки $A$ и $B$ зафиксированы, а точка $M$ пробегает всю окружность. Из середины $k$ отрезка $MB$ опускается перпендикуляр $kP$ на прямую $МА$.
а) Докажите, что все прямые $kP$ проходят через одну точку.
б) Найдите множество точек $P$.
Решение:
а) Пусть $C$ - точка, диаметрально противоположная точке $A$, Угол $AMC$ - прямой, Так как $MK = KB$ и $PK \parallel MC$, то прямая $PK$ пересекает отрезок $BC$ в середине: $BH = НС$. Таким образом, все прямые $PK$ проходят через точку $H$ - середину отрезка $BC$.
б) Из а) следует, что множество точек $P$ лежит на окружности, построенной на $AH$ как на диаметре. Поскольку $\angle HBA$ - прямой, эта окружность проходит через точку $B$.
На окружности две точки $A$ и $B$ зафиксированы, а точка $M$ пробегает всю окружность. Из середины $k$ отрезка $MB$ опускается перпендикуляр $kP$ на прямую $МА$.
а) Докажите, что все прямые $kP$ проходят через одну точку.
б) Найдите множество точек $P$.
Решение:
а) Пусть $C$ - точка, диаметрально противоположная точке $A$, Угол $AMC$ - прямой, Так как $MK = KB$ и $PK \parallel MC$, то прямая $PK$ пересекает отрезок $BC$ в середине: $BH = НС$. Таким образом, все прямые $PK$ проходят через точку $H$ - середину отрезка $BC$.
б) Из а) следует, что множество точек $P$ лежит на окружности, построенной на $AH$ как на диаметре. Поскольку $\angle HBA$ - прямой, эта окружность проходит через точку $B$.
