Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3552
2019-06-12 
а) Каждая из диагоналей выпуклого четырехугольника $ABCD$ делит его площадь пополам. Докажите, что $ABCD$ - параллелограмм.
б) Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$. Известно, что каждая из диагоналей $AD, BE$ и $CF$ делит его площадь пополам. Докажите, что эти диагонали пересекаются в одной точке.
Решение:
а) Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Поскольку треугольники $ABD$ и $BCD$ имеют равные площади и общее основание $BD$, их высоты, опущенные из вершин $A$ и $C$, равны, т. е. точки $A$ и $C$ одинаково удалены от $BD$, отсюда следует, что $AO = OC$. Точно так же доказывается, что $BO = OD$.
Итак, диагонали четырехугольника $ABCD$ делятся их точкой пересечения пополам, а это значит, что $ABCD$ - параллелограмм.
б) Первое решение.
Предположим, что у некоторого выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ диагонали, соединяющие противоположные вершины, делят площадь пополам и в то же время не пересекаются в одной точке. Тогда их точки пересечения $P, Q$ и $R$ являются вершинами треугольника, лежащего внутри шестиугольника (рис.).
Площади четырехугольников $ABCD$ и $BCDE$ равны, поэтому равны и площади треугольников $ABP$ и $EPD$, так как
$S_{ABP} = S_{ABCD} - S_{BCDP} = S_{BCDE} - S_{BCDP} = S_{EPD}$.
Точно так же получим, что
$S_{BCR} = S_{EFR}$ И $S_{AQF} = S_{CQD}$.
Из равенства площадей треугольников получаются следующие соотношения:
$AP \cdot BP = EP \cdot DP$,
$CQ \cdot DQ = AQ \cdot FQ$,
$ER \cdot FR = BR \cdot CR$.
Перемножив эти равенства, мы получим
$AP \cdot BP \cdot CQ \cdot DQ \cdot ER \cdot FR = AQ \cdot BR \cdot CR \cdot DP \cdot EP \cdot FQ$.
Но это невозможно: ведь $AP > AQ, BP > BR, CQ > CR, DQ > DP, ER > EP, FR > FQ$, поэтому произведение справа меньше, чем слева. Полученное противоречие показывает, что диагонали $AD, BE$ и $CF$ пересекаются в одной точке (т. е. что $PQ = QR = RP = 0$).
Второе решение. Это рещение основано на использовании геометрического преобразования - гомотетии. Поскольку площади четырехугольников $ABCD$ и $BCDE$ равны, то равны и площади треугольников $ABD$ и $BDE$ (они меньше площадей соответствующих четырехугольников на $S_{BCD}$). Эти треугольники имеют общее основание $BD$. Из равенства площадей вытекает равенство высот, опущенных на $BD$ из вершин $A$ и $E$, т. е. точки $A$ и $E$ одинаково удалены от $BD$. Поэтому $AE \parallel BD$. Точно так же устанавливается, что $CE \parallel BF$ и $DF \parallel AC$. Таким образом, треугольники $BDF$ и $ACE$ подобны.
Пусть $P$ - точка пересечения диагоналей $AD$ и $BE$. Рассмотрим гомотетию с центром в точке $P$ и коэффициентом $PE : PB$. При этой гомотетии точка $B$ перейдет в точку $E$, а точка $D$ - в точку $A$, прямая $DF$ перейдет в прямую $AC$, a $BF$ - в $EC$.
Так как $F$ - точка пересечения прямых $DF$ и $BF$, она перейдет в точку пересечения прямых $AC$ и $EC$, т. е. в точку $С$. Поэтому точки $F, P$ и $C$ лежат на одной прямой, а это и означает, что диагонали $AD, BE$ и $CF$ пересекаются в точке $P$.
а) Каждая из диагоналей выпуклого четырехугольника $ABCD$ делит его площадь пополам. Докажите, что $ABCD$ - параллелограмм.
б) Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$. Известно, что каждая из диагоналей $AD, BE$ и $CF$ делит его площадь пополам. Докажите, что эти диагонали пересекаются в одной точке.
Решение:
а) Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Поскольку треугольники $ABD$ и $BCD$ имеют равные площади и общее основание $BD$, их высоты, опущенные из вершин $A$ и $C$, равны, т. е. точки $A$ и $C$ одинаково удалены от $BD$, отсюда следует, что $AO = OC$. Точно так же доказывается, что $BO = OD$.
Итак, диагонали четырехугольника $ABCD$ делятся их точкой пересечения пополам, а это значит, что $ABCD$ - параллелограмм.
б) Первое решение.
Предположим, что у некоторого выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ диагонали, соединяющие противоположные вершины, делят площадь пополам и в то же время не пересекаются в одной точке. Тогда их точки пересечения $P, Q$ и $R$ являются вершинами треугольника, лежащего внутри шестиугольника (рис.).
Площади четырехугольников $ABCD$ и $BCDE$ равны, поэтому равны и площади треугольников $ABP$ и $EPD$, так как
$S_{ABP} = S_{ABCD} - S_{BCDP} = S_{BCDE} - S_{BCDP} = S_{EPD}$.
Точно так же получим, что
$S_{BCR} = S_{EFR}$ И $S_{AQF} = S_{CQD}$.
Из равенства площадей треугольников получаются следующие соотношения:
$AP \cdot BP = EP \cdot DP$,
$CQ \cdot DQ = AQ \cdot FQ$,
$ER \cdot FR = BR \cdot CR$.
Перемножив эти равенства, мы получим
$AP \cdot BP \cdot CQ \cdot DQ \cdot ER \cdot FR = AQ \cdot BR \cdot CR \cdot DP \cdot EP \cdot FQ$.
Но это невозможно: ведь $AP > AQ, BP > BR, CQ > CR, DQ > DP, ER > EP, FR > FQ$, поэтому произведение справа меньше, чем слева. Полученное противоречие показывает, что диагонали $AD, BE$ и $CF$ пересекаются в одной точке (т. е. что $PQ = QR = RP = 0$).
Второе решение. Это рещение основано на использовании геометрического преобразования - гомотетии. Поскольку площади четырехугольников $ABCD$ и $BCDE$ равны, то равны и площади треугольников $ABD$ и $BDE$ (они меньше площадей соответствующих четырехугольников на $S_{BCD}$). Эти треугольники имеют общее основание $BD$. Из равенства площадей вытекает равенство высот, опущенных на $BD$ из вершин $A$ и $E$, т. е. точки $A$ и $E$ одинаково удалены от $BD$. Поэтому $AE \parallel BD$. Точно так же устанавливается, что $CE \parallel BF$ и $DF \parallel AC$. Таким образом, треугольники $BDF$ и $ACE$ подобны.
Пусть $P$ - точка пересечения диагоналей $AD$ и $BE$. Рассмотрим гомотетию с центром в точке $P$ и коэффициентом $PE : PB$. При этой гомотетии точка $B$ перейдет в точку $E$, а точка $D$ - в точку $A$, прямая $DF$ перейдет в прямую $AC$, a $BF$ - в $EC$.
Так как $F$ - точка пересечения прямых $DF$ и $BF$, она перейдет в точку пересечения прямых $AC$ и $EC$, т. е. в точку $С$. Поэтому точки $F, P$ и $C$ лежат на одной прямой, а это и означает, что диагонали $AD, BE$ и $CF$ пересекаются в точке $P$.
