ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Дана числовая последовательность $\{ a_{n} \}$, удовлетворяющая неравенствам $|a_{k+m} – a_{k} – a_{m}| \leq 1$ при $k, m \in \mathbf{N}$. Доказать, что для любых $p, q \in \mathbf{N}$ выполнено неравенство
$\left | \frac{a_{p}}{p} - \frac{a_{q}}{q} \right | < \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$


Решение:


Из условия имеем неравенства
$a_{k+m} – 1 \leq a_{k} + a_{m} \leq a_{k+m} + 1, k,m \in mathbf{N}$.
Докажем индукцией по $q \in \mathbf{N}$, что для любых $p,q \in \mathbf{N}$ выполнены неравенства
$a_{pq} – (q-1) \leq qa_{p} \leq a_{pq} + (q-1)$.
При$q=1$ имеем верные неравенства. Пусть неравенства доказаны для числа $q$. Докажем их для числа $q + 1$. Действительно, для любого значения $p \in \mathbf{N}$ имеем
$(q+1)a_{p} = qa_{p} + a_{p} \leq a_{p} + a_{pq} + (q-1) \leq a_{p + pq} + q = a_{p(q+1)} + q$.
Аналогично доказывается, что
$(q+1)a_{p} \geq a_{p(q+1)} - q$.
Поменян местами $p$ и $q$, получаем неравенство
$a_{pq} – (p – 1 ) \leq pa_{q} \leq a_{pq} + (p - 1)$.
Таким образом,
$|pa_{q} – qa_{p}| \leq max \{ |a_{pq} + (p-1) – (a_{pq} – (q-1))|, |a_{pq} + (q-1) – (a_{pq} – (p - 1))| \} =$
$= p + q – 2 < p +q$,
а значит,
$\left | \frac{a_{q}}{q} - \frac{a_{p}}{p} \right | < \frac{1}{q} + \frac{1}{p}$
что и требовалось доказать.