Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3548
2019-06-12 
Про числа $a_0, a_1, \cdots, a_n$ известно, что $a_0 = a_n = 0$ и что $a_{k-1} - 2a_k + a_{k+1} \geq 0$ при всех $k (k = 1, 2, \cdots, n - 1)$. Докажите, что все $a_k$ неположительны.
Решение:
Решить эту задачу помогает рис.: ломаная с вершинами в точках $(k, a_k)$ «выпукла», поскольку $a_{k+1} - a_k \geq a_k - a_{k-1}$
(т. е. угловой коэффициент каждого следующего звена больше, чем предыдущего), так что вся она, кроме концов, лежит ниже оси $Ok$.
Допустим, что при некотором $m \geq 1$ будет $a_{m-1} \leq 0, a_m > 0$. Тогда $a_n - a_{n-1} \geq a_{n-1} - a_{n-2} \geq \cdots \geq a_{m+1} - a_m \geq a_m - a_{m-1} > 0$ и поэтому $a_n > a_{n-1} > \cdots > a_m > 0$, что противоречит условию $a_n = 0$.
Про числа $a_0, a_1, \cdots, a_n$ известно, что $a_0 = a_n = 0$ и что $a_{k-1} - 2a_k + a_{k+1} \geq 0$ при всех $k (k = 1, 2, \cdots, n - 1)$. Докажите, что все $a_k$ неположительны.
Решение:
Решить эту задачу помогает рис.: ломаная с вершинами в точках $(k, a_k)$ «выпукла», поскольку $a_{k+1} - a_k \geq a_k - a_{k-1}$
(т. е. угловой коэффициент каждого следующего звена больше, чем предыдущего), так что вся она, кроме концов, лежит ниже оси $Ok$.
Допустим, что при некотором $m \geq 1$ будет $a_{m-1} \leq 0, a_m > 0$. Тогда $a_n - a_{n-1} \geq a_{n-1} - a_{n-2} \geq \cdots \geq a_{m+1} - a_m \geq a_m - a_{m-1} > 0$ и поэтому $a_n > a_{n-1} > \cdots > a_m > 0$, что противоречит условию $a_n = 0$.
