Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3547
2019-06-12 
$x, y, z$ - произвольные попарно неравные целые числа. Докажите, что $(x - y) + (y- z)^5 + (z - x)^5$ делится на $5 (y - z) (z- x) (x - y)$.
Решение:
Частное равно $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz - 2xz$. Чтобы проверить нужное тождество, удобно положить $x - y = u, y - z = v$, тогда $z - x = - (u + v)$, и доказать тождество
$(u + v)^5 = u^5 + v^5 + 5uv (u + v) (u^2 + uv + v^2)$
с помощью формулы бинома Ньютона:
$(u + v)^5 = u^5 + 5 u^4v + 10u^3v^2 + 10 u^2v^3 + 5uv^4 + v^5$.
$x, y, z$ - произвольные попарно неравные целые числа. Докажите, что $(x - y) + (y- z)^5 + (z - x)^5$ делится на $5 (y - z) (z- x) (x - y)$.
Решение:
Частное равно $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz - 2xz$. Чтобы проверить нужное тождество, удобно положить $x - y = u, y - z = v$, тогда $z - x = - (u + v)$, и доказать тождество
$(u + v)^5 = u^5 + v^5 + 5uv (u + v) (u^2 + uv + v^2)$
с помощью формулы бинома Ньютона:
$(u + v)^5 = u^5 + 5 u^4v + 10u^3v^2 + 10 u^2v^3 + 5uv^4 + v^5$.
