Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3545
2019-06-12 
Из середины $M$ основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ опущен перпендикуляр $MH$ на сторону $BC$. Точка $P$ - середина отрезка $MH$. Докажите, что $AH \perp BP$.
Решение:
Опустим высоту $AD$ в $\triangle ABC$ (рис.). Тогда в $\triangle ADC$ отрезок $MH$ будет средней линией, т. е. $DH = CH$. Прямоугольные треугольники $BHM$ и $ADC$ подобны, поскольку $\angle DAC = 90^{\circ} - \angle C = \angle HBM$, причем после поворота одного из них на $90^{\circ}$ соответствующие стороны станут параллельными; при этом соответствующие медианы $BP$ и $AH$ также станут параллельными, а значит, до поворота было $AC \perp BP$.
Из середины $M$ основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ опущен перпендикуляр $MH$ на сторону $BC$. Точка $P$ - середина отрезка $MH$. Докажите, что $AH \perp BP$.
Решение:
Опустим высоту $AD$ в $\triangle ABC$ (рис.). Тогда в $\triangle ADC$ отрезок $MH$ будет средней линией, т. е. $DH = CH$. Прямоугольные треугольники $BHM$ и $ADC$ подобны, поскольку $\angle DAC = 90^{\circ} - \angle C = \angle HBM$, причем после поворота одного из них на $90^{\circ}$ соответствующие стороны станут параллельными; при этом соответствующие медианы $BP$ и $AH$ также станут параллельными, а значит, до поворота было $AC \perp BP$.
