Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3544
2019-06-12 
Дан правильный пятиугольник; $M$ - произвольная точка внутри него (или на его границе). Занумеруем расстояния от точки $M$ до сторон пятиугольника (или их продолжений) в порядке возрастания: $r_1 \leq r_2 \leq r_3 \leq r_4 \leq r_5$. Найдите все положения точки $M$, при которых величина $r_3$ принимает наименьшее значение, и все положения точки $M$, при которых величина $r_3$ принимает наибольшее значение.
Решение:
Разобьем правильный пятиугольник $ABCDE$ его осями симметрии на 10 треугольников. Достаточно исследовать точки $M$ внутри и на границе одного из них, например $AOK$ (рис.). Чтобы сравнить расстояния от точки $M$ внутри некоторого угла до его сторон, достаточно выяснить, по какую сторону от биссектрисы этого угла лежит точка $M$. Пользуясь этим, убеждаемся, что расстояния от точки $M$ до сторон пятиугольника $AB, AE, BC, DE, CD$ всегда идут в порядке возрастания:
$r_1 \leq r_2 \leq r_3 \leq r_4 \leq r_5$.
Третье по величине расстояние $r_3$ будет наибольшим, когда $M$ совпадает с $A$, и наименьшим, когда $М$ совпадает с $K$.
Ответ: $r_3$ - наибольшее для вершин пятиугольника, и наименьшее - для середин сторон.
Дан правильный пятиугольник; $M$ - произвольная точка внутри него (или на его границе). Занумеруем расстояния от точки $M$ до сторон пятиугольника (или их продолжений) в порядке возрастания: $r_1 \leq r_2 \leq r_3 \leq r_4 \leq r_5$. Найдите все положения точки $M$, при которых величина $r_3$ принимает наименьшее значение, и все положения точки $M$, при которых величина $r_3$ принимает наибольшее значение.
Решение:
Разобьем правильный пятиугольник $ABCDE$ его осями симметрии на 10 треугольников. Достаточно исследовать точки $M$ внутри и на границе одного из них, например $AOK$ (рис.). Чтобы сравнить расстояния от точки $M$ внутри некоторого угла до его сторон, достаточно выяснить, по какую сторону от биссектрисы этого угла лежит точка $M$. Пользуясь этим, убеждаемся, что расстояния от точки $M$ до сторон пятиугольника $AB, AE, BC, DE, CD$ всегда идут в порядке возрастания:
$r_1 \leq r_2 \leq r_3 \leq r_4 \leq r_5$.
Третье по величине расстояние $r_3$ будет наибольшим, когда $M$ совпадает с $A$, и наименьшим, когда $М$ совпадает с $K$.
Ответ: $r_3$ - наибольшее для вершин пятиугольника, и наименьшее - для середин сторон.
