Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3543
2019-06-12 
$a, b, c, d$ - положительные числа, произведение которых равно 1. Докажите, что
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd > 10$.
Решение:
Из неравенства $x^2 + у^2 \geq 2xy$ следует, что
$(a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) \geq 2 (ab + cd) \geq 4 \sqrt {abcd} \geq 4$,
$ab + cd \geq 2, bc + ad \geq 2, ac + bd \geq 2$.
Пользуясь общей теоремой о среднем арифметическом и среднем геометрическом, можно решить задачу другим способом, а также доказать, что для любых $n$ положительных чисел с произведением 1 сумма их квадратов не меньше $n$, а сумма $\frac{n (n-1)}{2}$ их попарных произведений не меньше $\frac{n (n-1)}{2}$.
$a, b, c, d$ - положительные числа, произведение которых равно 1. Докажите, что
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd > 10$.
Решение:
Из неравенства $x^2 + у^2 \geq 2xy$ следует, что
$(a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) \geq 2 (ab + cd) \geq 4 \sqrt {abcd} \geq 4$,
$ab + cd \geq 2, bc + ad \geq 2, ac + bd \geq 2$.
Пользуясь общей теоремой о среднем арифметическом и среднем геометрическом, можно решить задачу другим способом, а также доказать, что для любых $n$ положительных чисел с произведением 1 сумма их квадратов не меньше $n$, а сумма $\frac{n (n-1)}{2}$ их попарных произведений не меньше $\frac{n (n-1)}{2}$.
