Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3542
2019-06-12 
Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медианы, проведенные к этим сторонам, пересекались под прямым углом.
Решение:
Пусть нам известны длины $a, b$ сторон $BC$ и $AC$ треугольника и мы хотим, чтобы его медианы $AD$ и $BE$ пересекались под прямым углом. Возьмем на отрезке $АС$ длины $b$ точку $F$ так, что $AF : FC = 3$; тогда $FD \parallel BE$ и $\angle ADF$ должен быть равен $90^{\circ}$, т. е. точка $D$ должна лежать на окружности с диаметром $AF$ и, кроме того, на окружности радиуса $\frac{а}{2}$ с центром $С$. Отсюда ясно, как построить точку $D$ а затем и $B$. Задача имеет решение, если $\frac{1}{2} < \frac{b}{a} < 2$, и при этом искомый треугольник единствен.
Можно доказать, что в таком треугольнике квадрат третьей стороны $c$ равен $c^2 = \frac{a^2 + b^2}{5}$ и получить отсюда другое решение.
Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медианы, проведенные к этим сторонам, пересекались под прямым углом.
Решение:
Пусть нам известны длины $a, b$ сторон $BC$ и $AC$ треугольника и мы хотим, чтобы его медианы $AD$ и $BE$ пересекались под прямым углом. Возьмем на отрезке $АС$ длины $b$ точку $F$ так, что $AF : FC = 3$; тогда $FD \parallel BE$ и $\angle ADF$ должен быть равен $90^{\circ}$, т. е. точка $D$ должна лежать на окружности с диаметром $AF$ и, кроме того, на окружности радиуса $\frac{а}{2}$ с центром $С$. Отсюда ясно, как построить точку $D$ а затем и $B$. Задача имеет решение, если $\frac{1}{2} < \frac{b}{a} < 2$, и при этом искомый треугольник единствен.
Можно доказать, что в таком треугольнике квадрат третьей стороны $c$ равен $c^2 = \frac{a^2 + b^2}{5}$ и получить отсюда другое решение.
