Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3540
2019-06-12 
Докажите, что не существует целых чисел $a, b, c, d$ таких, что выражение $ax^3 + bx^2 + cx + d$ равно 1 при $x = 19$ и равно 2 при $x = 62$.
Решение:
Пусть $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Разность
$P(62) - P(19) = a (62^3 - 19^3) + b (62^2 - 19^2) + с (62 - 19)$
делится на 43 и не может равняться 1.
Вообще, для любого многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами разность $P(x)- P(x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ - различные целые числа, делится на $x_1 - x_2$.
Докажите, что не существует целых чисел $a, b, c, d$ таких, что выражение $ax^3 + bx^2 + cx + d$ равно 1 при $x = 19$ и равно 2 при $x = 62$.
Решение:
Пусть $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Разность
$P(62) - P(19) = a (62^3 - 19^3) + b (62^2 - 19^2) + с (62 - 19)$
делится на 43 и не может равняться 1.
Вообще, для любого многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами разность $P(x)- P(x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ - различные целые числа, делится на $x_1 - x_2$.
