2014-06-07
Последовательность чисел $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$ задана следующим образом:
$a_{0} = 1/2, a_{k} = a_{k-1} + (1/n) a_{k-1}^{2} (k = 1, \cdots, n)$.
Доказать, что $1 - 1/n < a_{n} < 1$.
Решение:
Соотношение $a_{k} = a_{k-1} + a_{k-1}^{2}/n$ эквивалентно равенству
$\frac{1}{a_{k-1}} - \frac{1}{a_{k}} = \frac{1}{n +a_{k-1}}$.
Поскольку $1/2 = a_{0} < a_{1} < \cdots < a_{n}$, то справедливы неравенства
$\frac{1}{a_{k-1}} - \frac{1}{a_{k}} > \frac{1}{n}$ при $k = 1, \cdots, n$.
складывай которые, получаем оценку
$\frac{1}{a_{0}} - \frac{1}{a_{n}} < 1$.
Следовательно, $1/a_{n} > 2 - 1 = 1$, а значит, $a_{n} < 1$. Поэтому справедливы неравенства
$\frac{1}{a_{k-1}} - \frac{1}{a_{k}} > \frac{1}{n+1}$ при $k = 1, \cdots, n$,
складывая которые, получаем оценку
$\frac{1}{a_{0}} - \frac{1}{a_{n}} > \frac{n}{n+1}$
Следовательно,
$\frac{1}{a_{n}} < 2 - \frac{n}{n+1}= \frac{n+2}{n+1}$,
а значит,
$a_{n} > \frac{n+1}{n+2} > \frac{n-1}{n}$.
Утверждение задачи доказано.