Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3539
2019-06-12 
Даны целые положительные числа $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_{99}, a_{100}$. Известно, что $a_1 > a_0$, $a_2 = - 2a_0$, $a_3 = 3a_2 - 2a_1, \cdots, a_{100} = 3a_{99} - 2a_{98}$. Докажите, что $a_{100} > 2^{99}$.
Решение:
По условию $a_1 - a_0 \geq 1$. Далее, $a_2 - a_1 = 2(a_1 - a_0), a_3 - a_2 = 2(a_2 - a_1), \cdots, a_{100} - a_{99} = 2(a_{99} - a_{98})$. Перемножив эти 99 равенств, обе части которых положительны, и сократив общие множители $a_2 - a_1$, $a_3 - a_2, \cdots, a_{99} - a_{98}$ в обеих частях, получим
$a_{100} = a_{99} + 2^{99} (a_1 - a_0) \geq 2^{99}$.
Более точная оценка по индукции $a_k \geq 2^k$, $a_{k+1} - a_k \geq 2^k$ ($k = 1, 2, \cdots$) показывает, что $a_{100} \geq 2^{100}$.
Даны целые положительные числа $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_{99}, a_{100}$. Известно, что $a_1 > a_0$, $a_2 = - 2a_0$, $a_3 = 3a_2 - 2a_1, \cdots, a_{100} = 3a_{99} - 2a_{98}$. Докажите, что $a_{100} > 2^{99}$.
Решение:
По условию $a_1 - a_0 \geq 1$. Далее, $a_2 - a_1 = 2(a_1 - a_0), a_3 - a_2 = 2(a_2 - a_1), \cdots, a_{100} - a_{99} = 2(a_{99} - a_{98})$. Перемножив эти 99 равенств, обе части которых положительны, и сократив общие множители $a_2 - a_1$, $a_3 - a_2, \cdots, a_{99} - a_{98}$ в обеих частях, получим
$a_{100} = a_{99} + 2^{99} (a_1 - a_0) \geq 2^{99}$.
Более точная оценка по индукции $a_k \geq 2^k$, $a_{k+1} - a_k \geq 2^k$ ($k = 1, 2, \cdots$) показывает, что $a_{100} \geq 2^{100}$.
